Задание №88782 ЕГЭ Профильной математике

а)  Преобразуем уравнение:

$$\begin{gathered} \cos \left(2\mathrm{x}\right)+\sqrt{3}\sin \left(\mathrm{x}+\mathrm{\pi }\right)-1=0 \\ 1-{\sin }^2\left(\mathrm{x}\right)-\sqrt{3}\sin \left(\mathrm{x}\right)-1=0 \\ 2{\sin }^2\left(\mathrm{x}\right)+\sqrt{3}\sin \left(\mathrm{x}\right)=0 \\ \sin \left(\mathrm{x}\right)·\left(2\sin \left(\mathrm{x}\right)+\sqrt{3}\right)=0 \\ \sin \left(\mathrm{x}\right)=0 \\ {\mathrm{x}}_1=\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ \sin \left(\mathrm{x}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ {\mathrm{x}}_2=-\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ {\mathrm{x}}_3=-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \end{gathered}$$

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[2\mathrm{\pi };\frac{7\mathrm{\pi }}{2}\right],$ с помощью тригонометрической окружности.

$3\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{3}=\frac{9\mathrm{\pi }+\mathrm{\pi }}{3}=\frac{10\mathrm{\pi }}{3};$

 Получим числа $2\mathrm{\pi }, 3\mathrm{\pi }, \frac{10\mathrm{\pi }}{3}.$

Ответы:

а) ${\mathrm{x}}_1=\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_2=-\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_3=-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}.$

б) $2\mathrm{\pi }, 3\mathrm{\pi }, \frac{10\mathrm{\pi }}{3}.$