Задание №88787 ЕГЭ Профильной математике

а)  Решим уравнение:

$$\begin{gathered} \cos \left(2\mathrm{x}\right)-\sqrt{2}\sin \left(\mathrm{x}+\mathrm{\pi }\right)-1=0 \\ 1-2{\sin }^2\left(\mathrm{x}\right)+\sqrt{2}\sin \left(\mathrm{x}\right)-1=0 \\ \sin \left(\mathrm{x}\right)(\sqrt{2}-2\sin \left(\mathrm{x}\right))=0 \\ \sin \left(\mathrm{x}\right)=0 \\ {\mathrm{x}}_1=\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ \sin \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ {\mathrm{x}}_3=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}++2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \end{gathered}$$

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\mathrm{\pi }}{2};-2\mathrm{\pi }\right],$ с помощью тригонометрической окружности.

$-3\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{-12\mathrm{\pi }-\mathrm{\pi }}{4}=-\frac{13\mathrm{\pi }}{4}.$

Получим числа $-\frac{13\mathrm{\pi }}{4}, -3\mathrm{\pi }, -2\mathrm{\pi }.$ 

Ответы:

а) ${\mathrm{x}}_1=\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_3=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}++2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}.$

б) $-\frac{13\mathrm{\pi }}{4}, -3\mathrm{\pi }, -2\mathrm{\pi }.$