Задание №88801 ЕГЭ Профильной математике

а)  Используя формулу приведения $\cos \left(\mathrm{\pi }-\mathrm{x}\right)=-\cos \left(\mathrm{x}\right)$ и формулу косинуса двойного угла $\cos \left(2\mathrm{x}\right)={\mathrm{xcos}}^2\left(\mathrm{x}\right)-1,$ получаем:

$$\begin{gathered} \cos \left(2\mathrm{x}\right)-\sqrt{3}\cos \left(\mathrm{x}-\mathrm{\pi }\right)+1=0 \\ 2{\cos }^2\left(x\right)-1+\sqrt{3}\cos \left(x\right)+1=0 \\ 2{\cos }^2\left(x\right)+\sqrt{3}\cos \left(x\right)=0 \\ \cos \left(x\right)·(2\cos \left(x\right)+\sqrt{3})=0 \\ \cos \left(x\right)=0 \\ {x}_1=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ \cos \left(\mathrm{x}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{5\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ {\mathrm{x}}_3=\frac{7\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \end{gathered}$$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\mathrm{\pi }}{2};3\mathrm{\pi }\right].$

$$\begin{gathered} 3\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{6}=\frac{18\mathrm{\pi }-\mathrm{\pi }}{6}=\frac{17\mathrm{\pi }}{6}; \\ 3\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{2}=\frac{6\mathrm{\pi }-\mathrm{\pi }}{2}=\frac{5\mathrm{\pi }}{2}. \end{gathered}$$

Получим числа: $\frac{3\mathrm{\pi }}{2},\frac{5\mathrm{\pi }}{2},\frac{17\mathrm{\pi }}{6}.$ 

Ответы:

а) ${\mathrm{x}}_1=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_2=\frac{5\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_3=\frac{7\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}.$

б) $\frac{3\mathrm{\pi }}{2},\frac{5\mathrm{\pi }}{2},\frac{17\mathrm{\pi }}{6}.$