Задание №88802 ЕГЭ Профильной математике

а)  Используя формулу приведения $\sin \left(\mathrm{\pi }+\mathrm{x}\right)=-\sin \left(\mathrm{x}\right)$ и формулу синуса двойного угла $\sin \left(2\mathrm{x}\right)=\mathrm{xsin}\left(\mathrm{x}\right)\cos \left(\mathrm{x}\right),$ получаем:

$$\begin{gathered} \sin \left(2\mathrm{x}\right)+\sqrt{2}\sin \left(\mathrm{x}+\mathrm{\pi }\right)=0 \\ 2\sin \left(\mathrm{x}\right)\cos \left(\mathrm{x}\right)-\sqrt{2}\sin \left(\mathrm{x}\right)=0 \\ \sin \left(\mathrm{x}\right)·(2\cos \left(\mathrm{x}\right)-\sqrt{2})=0 \\ \sin \left(\mathrm{x}\right)=0 \\ {\mathrm{x}}_1=\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ \cos \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ {\mathrm{x}}_3=\frac{7\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \end{gathered}$$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-4\mathrm{\pi };-\frac{5\mathrm{\pi }}{2}\right].$

$-4\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{-16\mathrm{\pi }+\mathrm{\pi }}{4}=-\frac{15\mathrm{\pi }}{4}.$

Получим числа: $-3\mathrm{\pi };-\frac{15\mathrm{\pi }}{4};-4\mathrm{\pi }.$ 

Ответы:

а) ${\mathrm{x}}_1=\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_3=\frac{7\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}.$

б) $-3\mathrm{\pi };-\frac{15\mathrm{\pi }}{4};-4\mathrm{\pi }.$