Задание №88805 ЕГЭ Профильной математике

а)  По формуле приведения: $\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{x}\right)=-\sin \left(2\mathrm{x}\right).$ По формуле синуса двойного угла: $-\sin \left(2\mathrm{x}\right)=-2\sin \left(\mathrm{x}\right)\cos \left(\mathrm{x}\right).$ Тогда исходное уравнение примет вид $-2\sin \left(\mathrm{x}\right)\cos \left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{2}\sin \left(\mathrm{x}\right).$ Выносим $\sin \left(\mathrm{x}\right)$ за скобки и приравниваем оба множителя к нулю:

$$\begin{gathered} \sin \left(\mathrm{x}\right)·(\sqrt{2}+2\cos \left(\mathrm{x}\right))=0 \\ \sin \left(\mathrm{x}\right)=0 \\ {\mathrm{x}}_1=\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ \cos \left(\mathrm{x}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ {\mathrm{x}}_2=\pm \frac{3\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \end{gathered}$$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\mathrm{\pi };-\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right].$

$-3\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{-12\mathrm{\pi }+\mathrm{\pi }}{4}=-\frac{11\mathrm{\pi }}{4}.$

Получим числа $-3\mathrm{\pi }, -\frac{11\mathrm{\pi }}{4}, -2\mathrm{\pi }.$

Ответ:

а) ${\mathrm{x}}_1=\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_2=\pm \frac{3\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}.$

б) $-3\mathrm{\pi }, -\frac{11\mathrm{\pi }}{4}, -2\mathrm{\pi }.$