Задание №88808 ЕГЭ Профильной математике

а)  Используя формулу приведения $\cos \left(\mathrm{\pi }+\mathrm{x}\right)=-\cos \left(\mathrm{x}\right)$ и формулу косинуса двойного угла $\cos \left(2\mathrm{x}\right)=2{\cos }^2\left(\mathrm{x}\right)-1,$ получаем:

$$\begin{gathered} \cos \left(2\mathrm{x}\right)+\sqrt{2}\cos \left(\mathrm{\pi }+\mathrm{x}\right)+1=0 \\ 2{\cos }^2\left(\mathrm{x}\right)-1-\sqrt{2}\cos \left(\mathrm{x}\right)+1=0 \\ 2{\cos }^2\left(\mathrm{x}\right)-\sqrt{2}\cos \left(\mathrm{x}\right)=0 \\ \cos \left(\mathrm{x}\right)·\left(2\cos \left(\mathrm{x}\right)-\sqrt{2}\right)=0 \\ \cos \left(\mathrm{x}\right)=0 \\ {\mathrm{x}}_1=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ \cos \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ {\mathrm{x}}_2=\pm \frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \end{gathered}$$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-4\mathrm{\pi };-\frac{5\mathrm{\pi }}{2}\right].$

$-4\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{-16\mathrm{\pi }+\mathrm{\pi }}{4}=-\frac{15\mathrm{\pi }}{4}.$

Получим числа: $-\frac{15\mathrm{\pi }}{4}, -\frac{7\mathrm{\pi }}{2}, -\frac{5\mathrm{\pi }}{2}.$ 

Ответ:

а) ${\mathrm{x}}_1=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_2=\pm \frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}.$

б) $-\frac{15\mathrm{\pi }}{4}, -\frac{7\mathrm{\pi }}{2}, -\frac{5\mathrm{\pi }}{2}.$