Задание №88812 ЕГЭ Профильной математике

а)  Используя формулу приведения $\cos (\mathrm{x}+\mathrm{\pi })=-\cos \left(\mathrm{x}\right)$ и формулу синуса двойного угла $\sin \left(2\mathrm{x}\right)=2\sin \left(\mathrm{x}\right)\cos \left(\mathrm{x}\right),$ получаем:

$$\begin{gathered} \sin \left(2\mathrm{x}\right)-\sqrt{3}\cos (\mathrm{x}+\mathrm{\pi })=0 \\ 2\sin \left(\mathrm{x}\right)\cos \left(\mathrm{x}\right)+\sqrt{3}\cos \left(\mathrm{x}\right)=0 \\ \cos \left(\mathrm{x}\right)·\left(2\sin \right(\mathrm{x})+\sqrt{3})=0 \\ \cos \left(\mathrm{x}\right)=0 \\ {\mathrm{x}}_1=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ \sin \left(\mathrm{x}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ {\mathrm{x}}_3=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \end{gathered}$$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\mathrm{\pi }}{2};\frac{5\mathrm{\pi }}{2}\right].$

$\frac{3\mathrm{\pi }}{2}+\frac{\mathrm{\pi }}{6}=\frac{9\mathrm{\pi }+\mathrm{\pi }}{6}=\frac{10\mathrm{\pi }}{6}=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}.$

Получим числа: $\frac{3\mathrm{\pi }}{2}, \frac{5\mathrm{\pi }}{3},\frac{5\mathrm{\pi }}{2}.$ 

Ответ:

а) ${\mathrm{x}}_1=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_2=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_3=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}.$

б) $\frac{3\mathrm{\pi }}{2}, \frac{5\mathrm{\pi }}{3},\frac{5\mathrm{\pi }}{2}.$