Задание №88816 ЕГЭ Профильной математике

а)  Используя формулу приведения $\sin (x-\mathrm{\pi })=-\sin \left(\mathrm{x}\right)$ и формулу синуса двойного угла $\sin \left(2\mathrm{x}\right)=2\sin \left(\mathrm{x}\right)\cos \left(\mathrm{x}\right),$ получаем:

$$\begin{gathered} \sin \left(2\mathrm{x}\right)-\sin (\mathrm{x}-\mathrm{\pi })=0 \\ 2\sin \left(\mathrm{x}\right)\cos \left(\mathrm{x}\right)+\sin \left(\mathrm{x}\right)=0 \\ \sin \left(\mathrm{x}\right)·\left(2\cos \right(\mathrm{x})+1)=0 \\ \sin \left(\mathrm{x}\right)=0 \\ {\mathrm{x}}_1=\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ \cos \left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2} \\ {\mathrm{x}}_2=\pm \frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \end{gathered}$$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7\mathrm{\pi }}{2};5\mathrm{\pi }\right].$

$5\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{3}=\frac{15\mathrm{\pi }-\mathrm{\pi }}{3}=\frac{14\mathrm{\pi }}{3}.$

Получим числа: $4\mathrm{\pi }, \frac{14\mathrm{\pi }}{3}, 5\mathrm{\pi }.$

Ответ:

а) ${\mathrm{x}}_1=\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_2=\pm \frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}.$

б) $4\mathrm{\pi }, \frac{14\mathrm{\pi }}{3}, 5\mathrm{\pi }.$