Задание №88830 ЕГЭ Профильной математике

а)  Запишем исходное уравнение в виде:

$$\begin{gathered} 2\sin \left(\mathrm{x}\right)·(1-{\sin }^2(\mathrm{x}\left)\right)-\sqrt{2}{\cos }^2\left(\mathrm{x}\right)=0 \\ {\cos }^2\left(\mathrm{x}\right)·\left(2\sin \right(\mathrm{x})-\sqrt{2})=0 \\ \cos \left(\mathrm{x}\right)=0 \\ {\mathrm{x}}_1=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ \sin \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ {\mathrm{x}}_3=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \end{gathered}$$

б)  С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[3\mathrm{\pi };\frac{9\mathrm{\pi }}{2}\right].$

$\frac{9\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{18\mathrm{\pi }-\mathrm{\pi }}{4}=\frac{17\mathrm{\pi }}{4}.$

Получим числа: $\frac{7\mathrm{\pi }}{2}, \frac{17\mathrm{\pi }}{4}, \frac{9\mathrm{\pi }}{2}.$ 

Ответ:

а) ${\mathrm{x}}_1=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_3=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}.$

б) $\frac{7\mathrm{\pi }}{2}, \frac{17\mathrm{\pi }}{4}, \frac{9\mathrm{\pi }}{2}.$