Задание №88847 ЕГЭ Профильной математике

а)  По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^2\left(\mathrm{x}\right)=1-{\cos }^2\left(\mathrm{x}\right),$ тогда:

$$\begin{gathered} 2{\cos }^2\left(\mathrm{x}\right)+{\sin }^2\left(\mathrm{x}\right)=2{\cos }^3\left(\mathrm{x}\right) \\ {\cos }^2\left(\mathrm{x}\right)+1=2{\cos }^3\left(\mathrm{x}\right) \\ 2{\cos }^3\left(\mathrm{x}\right)-{\cos }^2\left(\mathrm{x}\right)-1=0 \\ \left(\cos \right(\mathrm{x})-1)(2{\cos }^2+\cos (\mathrm{x})+1)=0 \\ \cos \left(\mathrm{x}\right)=1 \\ \mathrm{x}=2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \end{gathered}$$

б)  Отберем корни уравнения на заданном отрезке. Имеем:

$$\begin{gathered} -\frac{7\mathrm{\pi }}{2}\le 2\mathrm{\pi k}\le \le -2\mathrm{\pi } \\ -\frac{7}{4}\le \mathrm{k}\le -1 \\ \mathrm{k}=-1. \end{gathered}$$

Единственным корнем, принадлежащим заданному отрезку, является число $-2\mathrm{\pi }$.

Ответ:

а) $\mathrm{x}=2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}.$

б) $-2\mathrm{\pi }.$