Задание №89360 ЕГЭ Профильной математике

$\mathrm{а}) \sqrt{5+\mathrm{x}}-\sqrt{5-\mathrm{x}}=\sqrt{\mathrm{x}-1}$

Запишем ОДЗ:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-1\ge 0\\ 5+\mathrm{x}\ge 0\\ 5-\mathrm{x}\ge 0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 1\\ \mathrm{x}\ge -5\\ \mathrm{x}\le 5\end{array}\right. \end{gathered}$$

Следовательно, по ОДЗ $\mathrm{x}\in \left[1;5\right].$

$$\begin{gathered} \sqrt{5+\mathrm{x}}-\sqrt{5-\mathrm{x}}=\sqrt{\mathrm{x}-1} \\ \sqrt{5+\mathrm{x}}=\sqrt{5-\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{x}-1} \end{gathered}$$

Так как обе части последнего уравнения неотрицательны при  $\mathrm{x}\in [1;5],$  то возведение в квадрат обеих частей не приведёт к появлению посторонних корней.

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{5+\mathrm{x}}\right)}^2={\left(\sqrt{5-\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{x}-1}\right)}^2 \\ 5+\mathrm{x}=5-\mathrm{x}+2\sqrt{5-\mathrm{x}}\sqrt{\mathrm{x}-1}+\mathrm{x}-1 \\ 2\sqrt{\left(5-\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}-1\right)}=\mathrm{x}+1 \end{gathered}$$

Получили уравнение вида $\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\ge 0\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{g}}^2\left(\mathrm{x}\right)\end{array}\right.$

Тогда последнее уравнение примет вид:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+1\ge 0\\ 4(5\mathrm{x}-5-{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x})={\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge -1\\ 5{\mathrm{x}}^2-22\mathrm{x}+21=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge -1\\ {\mathrm{x}}_1=3\\ {\mathrm{x}}_2=1,4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Получается, что корнями уравнения являются ${\mathrm{x}}_1=3$ и ${\mathrm{x}}_2=1,4.$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  $[2;3].$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=3\in [2;3]; \\ \mathrm{x}=1,4\notin [2;3]. \end{gathered}$$

Получается, что отрезку $[2;3]$ принадлежит $\mathrm{x}=3.$