Задание №89361 ЕГЭ Профильной математике

$\mathrm{а}) \sqrt{{\mathrm{x}}^2+9}-\sqrt{{\mathrm{x}}^2-7}=2;$

Запишем ОДЗ:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2+9\ge 0\\ {\mathrm{x}}^2-7\ge 0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}\\ (\mathrm{x}-\sqrt{7})(\mathrm{x}+\sqrt{7})\ge 0\end{array}\right. \\ \mathrm{x}\in (-\infty ;-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7};\infty ) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sqrt{{\mathrm{x}}^2+9}-\sqrt{{\mathrm{x}}^2-7}=2 \\ \sqrt{{\mathrm{x}}^2+9}=\sqrt{{\mathrm{x}}^2-7}+2 \end{gathered}$$

Так как обе части последнего уравнения неотрицательны при $\mathrm{x}\in (-\infty ;-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7};\infty )$  то возведение в квадрат обеих частей не приведёт к появлению посторонних корней.

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+9}\right)}^2={\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2-7}+2\right)}^2 \\ {\mathrm{x}}^2+9={\mathrm{x}}^2+9={\mathrm{x}}^2-7+4\sqrt{{\mathrm{x}}^2-7}+4 \\ 4\sqrt{{\mathrm{x}}^2-7}=12 \\ \sqrt{{\mathrm{x}}^2-7}=3 \\ {\mathrm{x}}^2-7=9 \\ {\mathrm{x}}^2-16=0 \\ {\mathrm{x}}_1=4 \\ {\mathrm{x}}_2=-4. \end{gathered}$$

Получается, что корнями уравнения являются $\mathrm{x}=4$ и $\mathrm{x}=-4.$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[0;\sqrt{17}].$

Так как $0<4=\sqrt{16}<\sqrt{17},$ то $\mathrm{x}=4\in \left[0;\sqrt{17}\right].$

$\mathrm{x}=-4\notin \left[0;\sqrt{17}\right].$

Получается, что отрезку $[0;\sqrt{17}]$ принадлежит корень $\mathrm{x}=4.$