Задание №89363 ЕГЭ Профильной математике

a) $\sqrt{{\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}+29}=3-\mathrm{x}\mathrm{.}$

Уравнение вида $\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\ge 0\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{g}}^2\left(\mathrm{x}\right)\end{array}\right.$

Тогда исходное уравнение примет вид:

$$\begin{gathered} \sqrt{{\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}+29}=3-\mathrm{x} \\ \left\{\begin{array}{l}3-\mathrm{x}\ge 0\\ {\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}+29=(3-\mathrm{x}{)}^2\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\le 3\\ {\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}+29=9-6\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\le 3\\ {\mathrm{x}}^3-5{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+20=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\le 3\\ {\mathrm{x}}^2(\mathrm{x}-5)-4(\mathrm{x}-5)=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\le 3\\ (\mathrm{x}-5)({\mathrm{x}}^2-4)=0.\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\le 3\\ \mathrm{x}-5=0\\ {\mathrm{x}}^2-4=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\le 3\\ \mathrm{x}=5\\ \mathrm{x}=-2\\ \mathrm{x}=2\end{array}\right.$

Получается, что корнями уравнения являются $\mathrm{x}=2$ и $\mathrm{x}=-2.$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[-\sqrt{3};\sqrt{30}]$

Так как $-2=-\sqrt{4}<-\sqrt{3}$то $\mathrm{x}=-2\notin [-\sqrt{3};\sqrt{30}]$

Так как $-\sqrt{3}<2=\sqrt{4}<\sqrt{30}$, то $\mathrm{x}=2\in [-\sqrt{3};\sqrt{30}]$

Получается, что отрезку $[-\sqrt{3};\sqrt{30}]$ принадлежить корень $\mathrm{x}=2.$