Задание №89367 ЕГЭ Профильной математике

a)$\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-1}+\frac{6\mathrm{x}-6}{\mathrm{x}+1}-5=0$

$\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-1}+6\cdot \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+1}-5=0$

Пусть $\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-1}=\mathrm{t}$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$$\begin{gathered} \mathrm{t}+\frac{6}{\mathrm{t}}-5=0 \\ \frac{{\mathrm{t}}^2-5\mathrm{t}+6}{\mathrm{t}}=0 \\ \begin{array}{l}\text{ОДЗ}: \mathrm{t}\ne 0\\ {\mathrm{t}}^2-5\mathrm{t}+6=0\\ {\mathrm{t}}_1=2\\ {\mathrm{t}}_2=3.\end{array} \end{gathered}$$ ​

Вернёмся к прежней переменной:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-1}=2 \\ \frac{\mathrm{x}+1-2\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-1}=0 \\ \begin{array}{l}\mathrm{ОДЗ}: \mathrm{x}\ne 1\\ \mathrm{x}=3.\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-1}=3 \\ \frac{\mathrm{x}+1-3\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}-1}=0 \\ \begin{array}{l}\mathrm{ОДЗ}: \mathrm{x}\ne 1\\ \mathrm{x}=2.\end{array} \end{gathered}$$

Получается, что корнями уравнения являются $\mathrm{x}=3$ и $\mathrm{x}=2.$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\sqrt{15}}{2};2\sqrt{2}].$

Так как $3=\sqrt{9}>\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, то $\mathrm{x}=3\notin [\frac{\sqrt{15}}{2};2\sqrt{2}]$

Так как $\frac{\sqrt{15}}{2}<\frac{\sqrt{16}}{2}=2<2\sqrt{2}$, то $\mathrm{x}=2\in [\frac{\sqrt{15}}{2};2\sqrt{2}]\mathrm{.}$