Задание №89368 ЕГЭ Профильной математике

a) $\frac{2{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2-11\mathrm{x}+6}{2{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-1}=0.$

Запишем ОДЗ:

$$\begin{gathered} 2{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-1\ne 0 \\ {\mathrm{x}}^2(2\mathrm{x}-1)+(2\mathrm{x}-1)\ne 0 \\ (2\mathrm{x}-1)({\mathrm{x}}^2+1)\ne 0 \\ \begin{array}{l}\mathrm{x}\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\mathrm{x}}^2+1\ne 0\end{array} \end{gathered}$$

$\begin{array}{l}\mathrm{x}\ne \frac{1}{2},\\ \mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}\mathrm{.}\end{array}$

$$\begin{gathered} \frac{2x^3-3x^2-11x+6}{2x^3-x^2+2x-1}=0 \\ \left\{\begin{array}{l}2x^3-3x^2-11x+6=0\\ 2x^3-x^2+2x-1\ne 0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Решим полученное уравнение. Кандидатами в целые корни кубического уравнения являются делители свободного члена, равного 6, то есть:

$\pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 6.$

Подходит $\mathrm{x}=-2$. Разделим многочлен $2{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2-11\mathrm{x}+6$на многочлен $\mathrm{x}+2$:

​​

Следовательно, многочлен $2{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2-11\mathrm{x}+6$ раскладывается на множители $(\mathrm{x}+2)(2{\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}+3)$. Тогда:

$$\begin{gathered} (x+2)(2x^2-7x+3)=0 \\ \left\{\begin{array}{l}x+2=0\\ 2x^2-7x+3=0.\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=-2 \\ \mathrm{x}=3 \\ \mathrm{x}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Корень $\mathrm{x}=\frac{1}{2}$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому решением исходного уравнения будет являться корни $\mathrm{x}=3$ и $\mathrm{x}=-2.$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[-\sqrt{3};3\sqrt{2}].$

Так как $-2=-\sqrt{4}<-\sqrt{3}$ то $\mathrm{x}=-2\notin [-\sqrt{3};3\sqrt{2}].$

Так как $-\sqrt{3}<3=\sqrt{9}<3\sqrt{2}=\sqrt{18}$, то $\mathrm{x}=3\in [-\sqrt{3};3\sqrt{2}].$