Задание №89457 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\sin 2\mathrm{x}=\mathrm{t}, \mathrm{t}\in [—1;1].$ Тогда уравнение примет вид: 

$\begin{array}{l}3{\mathrm{t}}^2+10\mathrm{t}+3=0\\ \left[\begin{array}{c}\mathrm{t}=\frac{—1}{3}; \\ \mathrm{t}=—3\notin [—1;1].\end{array}\right.\end{array}$

Вернёмся к прежней переменной:

$$\begin{gathered} \sin 2\mathrm{x}=\frac{—1}{3} \\ \left[\begin{array}{c}2\mathrm{x}=—\arcsin \frac{1}{3}+2\mathrm{\pi k},\\ 2\mathrm{x}=\mathrm{\pi }+\arcsin \frac{1}{3}+2\mathrm{\pi k},\end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}=—\frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3}+\mathrm{\pi k},\\ \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+12\arcsin \frac{1}{3}+\mathrm{\pi k},\end{array}\right. \mathrm{k}\in \mathrm{Z}. \end{gathered}$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[0;\mathrm{\pi }]$, с помощью тригонометрической окружности. 

Получим значения:

$$\begin{gathered} \mathrm{\pi }—\frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3}; \\ \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3}. \end{gathered}$$

Ответ: а) $—\frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3}+\mathrm{\pi k},\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3}+\mathrm{\pi k},\mathrm{k}\in \mathrm{Z};$ б) $\mathrm{\pi }—\frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3}; \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3}.$