Задание №89458 ЕГЭ Профильной математике

а) Запишем ОДЗ:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ne 1\\ \mathrm{x}>0\\ 125\mathrm{x}>0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ne 1\\ \mathrm{x}>0\end{array}\right. \\ \mathrm{x}\in (0;1)\cup (1;\infty ). \end{gathered}$$

Воспользуемся свойством перехода к новому основанию:  ${\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}=\frac{{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{b}}{{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{a}}.$  Тогда исходное уравнение примет вид:

$$\begin{gathered} \frac{{\log }_5\left(125\mathrm{x}\right)}{{\log }_5\mathrm{х}}\cdot {\log }_{5^2}^2\mathrm{x}=1 \\ \frac{{\log }_{5}125+{\log }_5\mathrm{x}}{{\log }_5\mathrm{х}}·\frac{1}{4}{\log }_5^2\mathrm{x}=1 \\ (3+{\log }_5\mathrm{x})\cdot {\log }_5\mathrm{x}=4 \\ {\log }_5^2\mathrm{x}+3{\log }_5\mathrm{x}-4=0. \end{gathered}$$

Пусть  ${\log }_5\mathrm{x}=\mathrm{t}$.  Тогда:

$$\begin{gathered} {\mathrm{t}}^2+3\mathrm{t}-4=0 \\ \left[\begin{array}{c}\mathrm{t}=1,\\ \mathrm{t}=-4.\end{array}\right. \end{gathered}$$

Вернёмся к прежней переменной:

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}{\log }_5\mathrm{x}=1,\\ {\log }_5\mathrm{x}=-4.\end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}=5,\\ \mathrm{x}=\frac{1}{625}.\end{array}\right. \end{gathered}$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[0;3^{{\log }_3\left(4\right)}].$.

Так как $3^{{\log }_3\left(4\right)}=4<5$, то $\mathrm{x}=5\notin [0;3^{{\log }_3\left(4\right)}].$

Так как $0<\frac{1}{625}<4=3^{{\log }_3\left(4\right)}$, то $\mathrm{x}=\frac{1}{625}\in [0;3^{{\log }_3\left(4\right)}].$

Ответ: а) $5; \frac{1}{625};$ б) $\frac{1}{625}.$