Задание №89459 ЕГЭ Профильной математике

$$\begin{gathered} 7·9^{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+1}+5·6^{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+1}-48·4^{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}}=0; \\ 63·9^{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}}+30·6^{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}}-48·4^{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}}=0 \overline{):4^{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}}} \\ 63·{\left(\frac{9}{4}\right)}^{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}}+30·{\left(\frac{6}{4}\right)}^{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}}-48=0 \overline{):3} \\ 21·{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2({\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x})}+30·{\left(\frac{3}{2}\right)}^{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}}-16=0 \end{gathered}$$

Пусть ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}}=\mathrm{t}, \mathrm{t}>0.$ Тогда уравнение примет вид:

$$\begin{gathered} 21{\mathrm{t}}^2+30\mathrm{t}-16=0 \\ \left[\begin{array}{c}\mathrm{t}=\frac{2}{3}\\ \mathrm{t}=-\frac{8}{7}<0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Вернёмся к прежней переменной:

$$\begin{gathered} {\left(\frac{3}{2}\right)}^{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}}=\frac{2}{3} \\ {\left(\frac{3}{2}\right)}^{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{-1} \\ {\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+1=0 \\ \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\\ \mathrm{x}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.\end{array}\right. \end{gathered}$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-1;2\right].$.

Так как $\sqrt{5}=\sqrt{4}=2$, то $3+\sqrt{5}>5$, значит, $\frac{3+\sqrt{5}}{2}>\frac{5}{2}.$ Поэтому, $\frac{3+\sqrt{5}}{2}\notin \left[-1;2\right].$

Так как $-3=-\sqrt{9}<-\sqrt{5}<-\sqrt{4}=2$, то $0<3-\sqrt{5}<1$, значит, $0<\frac{3+\sqrt{5}}{2}<\frac{1}{2}$. Поэтому, $\mathrm{x}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\in \left[-1;2\right]$.

Ответ: а) $\frac{3\pm \sqrt{5}}{2};$ б) $\frac{3-\sqrt{5}}{2}.$