Задание №94798. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет

Задание №94798 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #94798

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка умножить на 9 в степени x плюс левая круглая скобка a минус 13 правая круглая скобка умножить на 6 в степени x = левая круглая скобка 2a минус 14 правая круглая скобка умножить на 4 в степени x$ имеет единственный корень.

Ответ

Ответ:

Решение

Преобразуем уравнение, поделив обе части на положительное выражение $4 в степени x :$

$левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка умножить на 9 в степени x плюс левая круглая скобка a минус 13 правая круглая скобка умножить на 6 в степени x = левая круглая скобка 2a минус 14 правая круглая скобка умножить на 4 в степени x равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 9 в степени x , знаменатель: 4 в степени x конец дроби плюс левая круглая скобка a минус 13 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 6 в степени x , знаменатель: 4 в степени x конец дроби = левая круглая скобка 2a минус 14 правая круглая скобка равносильно$ $равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a минус 13 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус левая круглая скобка 2a минус 14 правая круглая скобка = 0.$

Пусть $t = левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x ,$ тогда каждому положительному значению t соответствует ровно одно значение x, при $t меньше или равно 0$ нет соответствующих значений x. Требуется найти все значения a, при каждом из которых уравнение

$левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка t в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 13 правая круглая скобка t минус левая круглая скобка 2a минус 14 правая круглая скобка = 0$

имеет ровно один положительный корень.

При $a = 1$ получаем

$левая круглая скобка 1 минус 1 правая круглая скобка t в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус 13 правая круглая скобка t минус левая круглая скобка 2 умножить на 1 минус 14 правая круглая скобка =0 равносильно минус 12t плюс 12 = 0 равносильно t = 1,$

значит, условие задачи выполнено. При $a не равно 1,$ заметив, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю, находим корни:

$t = 1$

или

$t = минус дробь: числитель: 2a минус 14, знаменатель: a минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: a минус 1 конец дроби минус 2.$

Корень t  =  1 положителен при любых значениях параметра a, поэтому условие задачи выполнено в двух случаях:

— если два найденных корня совпадают, то есть

$1 = дробь: числитель: 12, знаменатель: a минус 1 конец дроби минус 2 равносильно 3 = дробь: числитель: 12, знаменатель: a минус 1 конец дроби равносильно a минус 1 = 4 равносильно a = 5.$

— если второй корень не является положительным:

$дробь: числитель: 12, знаменатель: a минус 1 конец дроби минус 2 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: минус 2a плюс 14, знаменатель: a минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений a больше или равно 7, a меньше 1. конец совокупности .$

Объединяя результаты всех рассмотренных случаев, получаем, что $a меньше или равно 1,$ $a = 5$ и $a больше или равно 7.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 5 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 7; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Понятно ли решение?

Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
Введи код авторизации из TG-бота

Активировать TG-бот