Задание №94953. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнениеимеет

Задание №94953 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #94953

№1821 по КИМ

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$a в квадрате плюс ax минус 2x в квадрате минус 6a минус 3x плюс 9\absx = 0$

имеет меньше четырех различных корней.

Ответ

Ответ:

Решение

Раскроем модуль. При $x больше или равно 0$ уравнение примет вид

$a в квадрате плюс ax минус 2x в квадрате минус 6a плюс 6x = 0 равносильно 2x в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 6 правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 6a = 0.$

При $x меньше 0$ уравнение примет вид

$a в квадрате плюс ax минус 2x в квадрате минус 6a минус 12x=0 равносильно 2x в квадрате плюс левая круглая скобка 12 минус a правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 6a=0.$

Оба полученных квадратных уравнения должны иметь по два корня. Если одно из них имеет корень $x = 0,$ то и второе тоже, а потому общее число корней будет меньше четырех. Значит, число $x = 0$ не должно быть корнем.

Чтобы у квадратного уравнения было два корня, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был положителен. Чтобы корни были одного знака, произведение корней, вычисляемое по теореме Виета, должно было положительно. Сумма корней, также вычисляемая по теореме Виета, определит этот знак. Получаем систему неравенств:

$система выражений левая круглая скобка a минус 12 правая круглая скобка в квадрате плюс 8a в квадрате минус 48a больше 0, дробь: числитель: минус a в квадрате плюс 6a, знаменатель: 2 конец дроби больше 0, дробь: числитель: a минус 12, знаменатель: 2 конец дроби меньше 0, левая круглая скобка a плюс 6 правая круглая скобка в квадрате плюс 8a в квадрате минус 48a больше 0, дробь: числитель: минус a в квадрате плюс 6a, знаменатель: 2 конец дроби больше 0, дробь: числитель: 6 плюс a, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно система выражений a в квадрате минус 24a плюс 144 плюс 8a в квадрате минус 48a больше 0, a в квадрате минус 6a меньше 0, a меньше 12, a в квадрате плюс 12a плюс 36 плюс 8a в квадрате минус 48a больше 0, a больше минус 6 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений 9a в квадрате минус 72a плюс 144 больше 0 , a левая круглая скобка a минус 6 правая круглая скобка меньше 0, a меньше 12, 9a в квадрате минус 36a плюс 36 больше 0, a больше минус 6 конец системы . равносильно система выражений 9 левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка в квадрате больше 0, 0 меньше a меньше 6, a меньше 12, 9 левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате больше 0, a больше минус 6 конец системы . равносильно система выражений a не равно 4, 0 меньше a меньше 6, a не равно 2. конец системы .$

Следовательно, исходное уравнение имеет меньше четырех корней при $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 2; 4 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Понятно ли решение?

Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
Введи код авторизации из TG-бота

Активировать TG-бот