Задание №95490. Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее

Задание №95490 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #95490

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4ax плюс \left| x в квадрате минус 6x . плюс 5 |$ больше, чем $минус 24.$

Ответ

Ответ:

Решение

При $x в квадрате минус 6x плюс 5 меньше или равно 0,$ то есть на отрезке $левая квадратная скобка 1; 5 правая квадратная скобка$ функция имеет вид

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4ax минус левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 5 правая круглая скобка = минус x в квадрате плюс 2 левая круглая скобка 2a плюс 3 правая круглая скобка x минус 5,$

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз. Вне отрезка $левая квадратная скобка 1; 5 правая квадратная скобка$ функция имеет вид

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4ax плюс левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 5 правая круглая скобка =x в квадрате плюс 2 левая круглая скобка 2a минус 3 правая круглая скобка x плюс 5,$

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии $x=3 минус 2a.$

Следовательно, наименьшее значение функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ может принять только в точках $x=1,$ $x=5$ или $x=3 минус 2a.$ Поэтому наименьшее значение функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ больше −24 тогда и только тогда, когда $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка больше минус 24,$ $f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка больше минус 24$ и $f левая круглая скобка 3 минус 2a правая круглая скобка больше минус 24.$ Имеем: $система выражений 4a больше минус 24, 20a больше минус 24, |2a минус 3| меньше корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента конец системы . равносильно система выражений a больше минус 6, a больше минус дробь: числитель: 24, знаменатель: 20 конец дроби , дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 29, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2 меньше a меньше дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 29, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2, конец системы . равносильно дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 29, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2 меньше a меньше дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 29, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2.$

Понятно ли решение?

Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
Введи код авторизации из TG-бота

Активировать TG-бот