Задание №95522 ЕГЭ Профильной математике

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1)  Если x + 2y − 5 ≥ 0, то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O₁(2; 4) и радиусом

2)  Если x + 2y − 5 ≤ 0, то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом

Полученные окружности пересекаются в двух точках A(−1; 3) и B(3; 1), лежащих на прямой x + 2y − 5  =  0, поэтому в первом случае получаем дугу ω₁ с концами в точках A и B, во втором  — дугу ω₂ с концами в тех же точках (см. рис.).

Заметим, что точка лежит на дуге ω₂ и прямая OC перпендикулярна прямой O₁O, поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой O₁O или совпадающую с ней.

При a = −5 прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при a = 5 прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

При прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

При или прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.

При −5 < a < 5 прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При или прямая m не пересекает дуги ω₁ и ω₂, то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при или