Задание №95523. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых

Задание №95523 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #95523

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате минус 2 левая круглая скобка 2y минус x правая круглая скобка a=1 минус 2a минус 4a в квадрате ,x в квадрате плюс y в квадрате минус 4 левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка a=4 минус 4a минус 7a в квадрате . конец системы .$

не имеет решений.

Ответ

Ответ:

Решение

Запишем систему в виде

$система выражений левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2a правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка в квадрате , левая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 2a правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка в квадрате . конец системы .$

Если а ≠ 1, а ≠ 2 , то каждое уравнение системы есть уравнение окружности. В этом случае система не имеет решений тогда и только тогда, когда расстояние между центрами этих окружностей больше суммы или меньше разности их радиусов. При а  =  1 имеем систему

$система выражений левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате =0, левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =1. конец системы .$

Эта система решений не имеет. Следовательно, а  =  1 удовлетворяет условию задачи. При а  =  2 имеем систему

$система выражений левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка в квадрате =1, левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка в квадрате =0. конец системы .$

Эта система тоже решений не имеет. Следовательно, и а  =  2 удовлетворяет условию задачи. Пусть а ≠ 1, а ≠ 2. Расстояние O₁O₂ между центрами $O_1 левая круглая скобка минус a, 2a правая круглая скобка$ и $O_2 левая круглая скобка 2a, минус 2a правая круглая скобка$ равно $O_1O_2= корень из: начало аргумента: 9a в квадрате плюс 16a в квадрате конец аргумента =5|a|,$ а радиусы $R_1=|1 минус a|$ и $R_2=|2 минус a|.$ Решим два неравенства: (1) $O_1O_2 больше R_1 плюс R_2$ и (2) $O_1O_2 меньше |R_1 минус R_2|.$

Неравенство (1) имеет вид $5|a| больше |1 минус a| плюс |2 минус a|;$ неравенство (2) имеет вид $5|a| меньше ||1 минус a| минус |2 минус a||.$ Решением неравенства (1) являются промежутки $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Решением неравенства (2) является промежуток $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Понятно ли решение?

Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
Введи код авторизации из TG-бота

Активировать TG-бот