Задание №95524 ЕГЭ Профильной математике

Преобразуем первое уравнение системы:

Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (−1; −1) радиуса 3. Преобразуем второе уравнение системы:

Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (а; а) радиуса 3. Полуокружности, определяемые уравнениями системы, изображены на рисунке 1, обозначим полуокружности через F и F_a, а их центры  — О и О_а.

Данная в условии система имеет единственное решение, если полуокружности F и F_a имеют единственную общую точку. Поэтому это необходимо исследовать при различных значения параметра а. Две «верхние» полуокружности одинакового радиуса либо не имеют общих точек, либо имеют ровно одну общую точку, либо совпадают.

При a = −1 полуокружности F и F_a совпадают, т. е. a = −1 не является искомым.

При a > −1, т. е. точка О_а расположена выше точки О. В этом случае полуокружности F и F_a имеют общую точку, если диаметр BC полуокружности F_a имеет общую точку с полуокружностью F. Крайнее положение диаметра BC, при котором он ещё имеет общую точку c полуокружностью F, является положение на рисунке 2, при этом точка О_а имеет координаты (2; 2), т. е. a = 2. При a > 2 полуокружности F и F_a не имеют общих точек. Таким образом, все значения являются искомыми.

При a < −1 полуокружность F_a может быть получена параллельным переносом полуокружности F на вектор где b = a + 1. Если при параллельном переносе полуокружности F на вектор полученная полуокружность имеет общую точку с F, то это же справедливо и при параллельном переносе полуокружности F на вектор Поэтому искомое множество значений параметра а симметрично относительно точки a = −1, значит, искомыми значениями