Задание №95574. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых имеет

Задание №95574 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #95574

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений
$система выражений 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка плюс 5|x| плюс 4 = 3y плюс 5x в квадрате плюс 3a, x в квадрате плюс y в квадрате = 1. конец системы .$

Ответ

Ответ:

Решение

Заметим, что если пара чисел $левая круглая скобка x_0; y_0 правая круглая скобка$ является решением системы, то пара чисел $левая круглая скобка минус x_0; y_0 правая круглая скобка$ тоже является решением системы. Значит, чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы $x_0 = 0.$ С учётом второго уравнения системы получаем, что единственным решением может являться либо пара чисел $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка ,$ либо пара чисел $левая круглая скобка 0; минус 1 правая круглая скобка .$

Пара чисел $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка ,$ является решением системы при $a = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$ Проверим есть ли другие решения при этом значении параметра. Подставляя найденное значение параметра, находим:

$система выражений 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка плюс 5|x| плюс 4 = 3y плюс 5x в квадрате плюс 3 умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , x в квадрате плюс y в квадрате = 1 конец системы . равносильно система выражений 3 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка минус y правая круглая скобка = 5 левая круглая скобка x в квадрате минус |x| правая круглая скобка , x в квадрате плюс y в квадрате = 1. конец системы .$

Из второго уравнения системы получаем, что $минус 1 меньше или равно x меньше или равно 1$ и $минус 1 меньше или равно y \leqslant1,$ тогда левая часть первого уравнения системы неотрицательна, а правая неположительна, причём равенство достигается только при $x = 0$ и $y = 1.$ Значит, при $a = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$ система имеет единственное решение.

Пара чисел $левая круглая скобка 0; минус 1 правая круглая скобка$ является решением системы при $a = дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби .$ Подставляя найденное значение параметра, находим:

$система выражений 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка плюс 5|x| плюс 4 = 3y плюс 5x в квадрате плюс 3 умножить на дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби , x в квадрате плюс y в квадрате = 1 конец системы . равносильно система выражений 3 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка минус y минус 2 правая круглая скобка = 5 левая круглая скобка x в квадрате минус |x| правая круглая скобка , x в квадрате плюс y в квадрате = 1. конец системы .$
Заметим, что кроме пары чисел $левая круглая скобка 0; минус 1 правая круглая скобка$ решением системы является пара чисел $левая круглая скобка 1; 0 правая круглая скобка .$ Значит, при $a = дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби$ система имеет более одного решения.