Привет! Похоже, тебе нужно помочь с контрольной работой по математике. Давай решим вместе первое уравнение:
[ \frac{3}{x^2-1} - \frac{1}{2x+2} = \frac{1}{4} ]
Сначала упростим данное уравнение. Заметим, что (x^2 - 1) это разность квадратов, которую можно представить как ((x+1)(x-1)). Также заметим, что (2x + 2) можно представить как (2(x + 1)). У нас есть общий множитель (x+1), что упрощает ситуацию.
Чтобы решить уравнение, приведем дроби к общему знаменателю (2(x^2 - 1)), что равно (2(x+1)(x-1)). Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на (x-1), числитель и знаменатель правой части уравнения на (8(x+1)(x-1)). Получим:
[ \frac{3}{(x+1)(x-1)} - \frac{x - 1}{2(x + 1)(x - 1)} = \frac{2(x+1)(x-1)}{8(x+1)(x-1)} ]
Теперь слева у нас общий знаменатель, и мы можем объединить числители:
[ \frac{6 - (x - 1)}{2(x+1)(x-1)} = \frac{2(x^2 - 1)}{8(x+1)(x-1)} ]
Упростим числители:
[ \frac{7 - x}{2(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 - 1}{4(x+1)(x-1)} ]
Теперь мы можем умножить обе стороны на общий знаменатель (не забывая, что (x \neq 1) и (x \neq -1), так как при этих значениях знаменатель обращается в ноль):
[ 7 - x = \frac{x^2 - 1}{2} ]
Умножаем все на 2, чтобы избавиться от дроби:
[ 2(7 - x) = x^2 - 1 ]
Упрощаем:
[ 14 - 2x = x^2 - 1 ]
[ x^2 + 2x - 15 = 0 ]
Получили квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант или факторизацию. Факторизация здесь проще. Разложим уравнение на множители:
[ (x + 5)(x - 3) = 0 ]
Теперь найдем корни:
[ x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5 ]
[ x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 ]
Таким образом, у нас получилось два возможных решения: (x = -5) и (x = 3). Но не забывай проверять подходят ли корни обратно в исходное уравнение, так как иногда возможны посторонние корни. Удачи с решением остальных задач! Если нужна помощь с другими – обращайся.
