H
Привет! Давай вместе решим это неравенство. У нас есть неравенство \( x^2 − 8x − 24 \geq 0 \). Начнем с поиска корней квадратного трехчлена \( x^2 − 8x − 24 \). Для этого нам нужно решить уравнение \( x^2 − 8x − 24 = 0 \).
Чтобы решить это квадратное уравнение, нам нужно его разложить на множители. Подумаем, какие два числа при перемножении дадут \(-24\), а в сумме \(-8\). Это \(-12\) и \(+4\), потому что \(-12 \cdot 4 = -48\) и \(-12 + 4 = -8\). Значит, уравнение разложится так:
\( x^2 − 12x + 4x − 24 = 0 \)
Группируем:
\( (x^2 − 12x) + (4x − 24) = 0 \)
Выносим общие множители для каждой группы:
\( x(x − 12) + 4(x − 6) = 0 \)
Теперь у нас есть общий множитель \( x − 6 \), давай вынесем его и получим:
\( (x - 6)(x - 4) = 0 \)
Отсюда находим корни уравнения \( x_1 = 6 \) и \( x_2 = 4 \). Теперь мы можем нарисовать числовую прямую и отметить на ней точки 4 и 6. Так как неравенство нестрогое (символ "больше или равно"), точки будут закрашенными.
Теперь проверим знаки на полученных интервалах. Для этого выберем любое число из каждого интервала и подставим его в трехчлен:
- Интервал \( (-\infty, 4) \): возьмем число 0 - \( 0^2 − 8\cdot0 − 24 = -24 \), получается отрицательный результат.
- Интервал \( (4, 6) \): возьмем число 5 - \( 5^2 − 8\cdot5 − 24 = 25 − 40 − 24 = -39 \), снова отрицательный результат.
- Интервал \( (6, +\infty) \): возьмем число 7 - \( 7^2 − 8\cdot7 − 24 = 49 − 56 − 24 = -31 \), положительный результат.
Значит, на интервале \( (6, +\infty) \) неравенство выполняется. Также оно выполняется и в точках 4 и 6, так как неравенство нестрогое.
Ответ: \( [4, 6] \cup (6, +\infty) \) или в более простой форме \( x \geq 4 \).
Надеюсь, это поможет тебе! Если что-то не понятно, спрашивай.
