6. По прямолинейной автостраде движутся равномерно в противоположных направлениях автобус и мотоциклист. В начальный момент времени координаты автобуса и мотоциклиста…
6. По прямолинейной автостраде движутся равномерно в противоположных направлениях автобус и мотоциклист. В начальный момент времени координаты автобуса и мотоциклиста соответственно равны 500 и -300 м, а скорости движения 72 и 36 км/ч. Напишите уравнения движения х = x(t) автобуса и мотоциклиста. Определите их положение через 5 с. В какой момент времени и где они встретятся? Каким будет рас-стояние между ними через 1,5 мин после начала движения? Рассмотрите все возможные случаи.
Для решения задачи начнем с формулирования уравнений движения для автобуса и мотоциклиста.
Преобразуем скорости в м/с.
- Скорость автобуса: \( v_{a} = 72 \, \text{км/ч} = \frac{72 \times 1000}{3600} = 20 \, \text{м/с} \)
- Скорость мотоциклиста: \( v_{m} = 36 \, \text{км/ч} = \frac{36 \times 1000}{3600} = 10 \, \text{м/с} \)
Установим уравнения движения на основе начальных координат и скоростей.
Пусть т – время в секундах.- Уравнение движения автобуса:
\[ x_{a}(t) = 500 + 20t \] - Уравнение движения мотоциклиста:
\[ x_{m}(t) = -300 - 10t \] (здесь мы учитываем, что мотоциклист движется в противоположном направлении и его координаты уменьшаются).
- Уравнение движения автобуса:
Найдем положение автобуса и мотоциклиста через 5 секунд.
Подставляя \( t = 5 \):- Для автобуса: \[ x_{a}(5) = 500 + 20 \cdot 5 = 500 + 100 = 600 \, \text{м} \]
- Для мотоциклиста: \[ x_{m}(5) = -300 - 10 \cdot 5 = -300 - 50 = -350 \, \text{м} \]
Найдём время встречи.
Для встречи координаты должны быть равны: \[ x_{a}(t) = x_{m}(t) \] Подставляем уравнения: \[ 500 + 20t = -300 - 10t \] Переносим все значения в одну часть: \[ 20t + 10t = -300 - 500 \] \[ 30t = -800 \] \[ t = -\frac{800}{30} \approx -26.67 \] Время \(-26.67\) не имеет смысла, так как оно отрицательное, значит встреча не произойдет (они двигаются в разные стороны и расстояние будет постоянным).Расстояние между ними через 1.5 мин (90 секунд) после начала движения.
Подсчитаем координаты через 90 секунд:- Для автобуса: \[ x_{a}(90) = 500 + 20 \cdot 90 = 500 + 1800 = 2300 \, \text{м} \]
- Для мотоциклиста: \[ x_{m}(90) = -300 - 10 \cdot 90 = -300 - 900 = -1200 \, \text{м} \]
Теперь находим расстояние между ними: \[ \text{Расстояние} = x_{a}(90) - x_{m}(90) = 2300 - (-1200) = 2300 + 1200 = 3500 \, \text{м} \]
Выводы:
- Через 5 секунд автобус находится в 600 м, а мотоциклист в -350 м.
- Они не встретятся, так как движутся в противоположных направлениях.
- Расстояние между ними через 1,5 минуты (90 секунд) составит 3500 м.
