Чтобы решить выражение (5\sqrt{32°243°1024}), сначала давайте разберёмся с элементами под корнем.
- Преобразование 32: (32 = 2^5) (то есть (32) — это (2) в пятой степени).
- Преобразование 243: (243 = 3^5) (то есть (243) — это (3) в пятой степени).
- Преобразование 1024: (1024 = 2^{10}) (то есть (1024) — это (2) в десятой степени).
Теперь мы можем переписать выражение под корнем:
[
\sqrt{32 \cdot 243 \cdot 1024} = \sqrt{(2^5) \cdot (3^5) \cdot (2^{10})}
]
Теперь объединим степени (2):
[
= \sqrt{2^{5+10} \cdot 3^5} = \sqrt{2^{15} \cdot 3^5}
]
Теперь можем применить свойства корней:
[
= \sqrt{2^{15}} \cdot \sqrt{3^5}
]
Используя правило корня, получаем:
[
= 2^{15/2} \cdot 3^{5/2} = 2^{7.5} \cdot 3^{2.5} = 2^7 \cdot 2^{0.5} \cdot 3^2 \cdot 3^{0.5}
]
Где (2^7 = 128) и (3^2 = 9). Теперь выразим это в числовом виде:
[
= 128 \cdot 9 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 1152 \cdot \sqrt{6}
]
В завершение, добавим множитель 5 из начального выражения:
[
5 \cdot (1152 \cdot \sqrt{6}) = 5760 \cdot \sqrt{6}
]
Итак, окончательный результат:
[
5\sqrt{32°243°1024} = 5760\sqrt{6}
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно объяснение других тем, не стесняйтесь обращаться!
