Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, воспользуемся формулой:
[ R = \frac{abc}{4S}, ]
где ( a, b, c ) — длины сторон треугольника, а ( S ) — его площадь.
Дано, что угол C равен 60°, а сторона AB равна ( 10\sqrt{3} ).
Обозначим сторону AB как ( c ) (противоположная угол C). Тогда ( c = 10\sqrt{3} ).
По свойствам треугольника, мы можем выразить стороны а и b через угол и одну из сторон. Мы можем использовать синус угла C для нахождения площади треугольника:
[ S = \frac{1}{2} ab \sin(C). ]
Так как ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), получаем:
[ S = \frac{1}{2} ab \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{ab \sqrt{3}}{4}. ]
- Теперь подставим в формулу для радиуса ( R ):
[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{abc}{4 \cdot \frac{ab \sqrt{3}}{4}}. ]
Упрощая, получаем:
[ R = \frac{c}{\sqrt{3}}. ]
- Подставляем значение ( c = 10\sqrt{3} ):
[ R = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10. ]
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 10.
