Для решения выражения ( \sqrt{18} \times \sqrt{80} \times \sqrt{30} ) можно воспользоваться свойством произведения корней.
Сначала объединим корни в один:
[
\sqrt{18} \times \sqrt{80} \times \sqrt{30} = \sqrt{18 \times 80 \times 30}
]
Теперь нам нужно вычислить произведение ( 18 \times 80 \times 30 ).
Сначала найдем произведение ( 18 ) и ( 80 ):
[
18 \times 80 = 1440
]
Теперь умножим ( 1440 ) на ( 30 ):
[
1440 \times 30 = 43200
]
Теперь подставим это значение обратно в корень:
[
\sqrt{18 \times 80 \times 30} = \sqrt{43200}
]
Чтобы упростить (\sqrt{43200}), найдем его разложение на простые множители.
43200 можно разложить следующим образом:
[
43200 = 432 \times 100 = 432 \times 10^2
]
Разложим ( 432 ):
[
432 = 2^4 \times 3^3
]
Теперь подставим все в одно выражение:
[
43200 = 2^4 \times 3^3 \times 10^2 = 2^4 \times 3^3 \times (2 \times 5)^2 = 2^4 \times 3^3 \times 2^2 \times 5^2
]
Соединим все множители:
[
43200 = 2^{4+2} \times 3^3 \times 5^2 = 2^6 \times 3^3 \times 5^2
]
Теперь мы можем извлечь корень:
[
\sqrt{43200} = \sqrt{2^6 \times 3^3 \times 5^2} = 2^{6/2} \times 3^{3/2} \times 5^{2/2} = 2^3 \times 3^{1.5} \times 5
]
Где (2^3 = 8), (3^{1.5} = 3\sqrt{3}), а (5 = 5).
Таким образом, итоговое выражение будет:
[
\sqrt{43200} = 8 \times 3\sqrt{3} \times 5 = 120\sqrt{3}
]
Ответ: (120\sqrt{3}).
