Чтобы найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, мы можем воспользоваться формулой для радиуса окружности, описанной около треугольника:
[ R = \frac{a}{2 \sin A} ]
где ( R ) — радиус окружности, ( a ) — длина стороны, противолежащей углу ( A ), а ( A ) — угол, противолежащий этой стороне.
В данном случае у нас есть равнобедренный треугольник, где боковая сторона равна 5, а угол противолежащий основанию равен 120 градусов. Обозначим:
- ( b = 5 ) (две боковые стороны)
- ( A = 120^\circ )
Сначала найдем длину основания ( a ). Мы можем использовать закон косинусов для вычисления:
[ a^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos(A) ]
Подставим известные значения:
[ a^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ) ]
Зная, что ( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} ):
[ a^2 = 25 + 25 + 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} ]
[ a^2 = 25 + 25 + 25 = 75 ]
[ a = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} ]
Теперь подставим ( a ) и угол ( A ) в формулу для радиуса ( R ):
[ R = \frac{a}{2 \sin A} ]
Вычислим ( \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ):
[ R = \frac{5\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} ]
[ R = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 ]
Теперь, чтобы найти диаметр ( D ), используем связь:
[ D = 2R = 2 \cdot 5 = 10 ]
Таким образом, диаметр окружности, описанной около данного треугольника, равен 10.
