Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен  7 3 ∘ 73 ∘ . Найди градусную меру меньшей из дуг, заключённых между точками касания.

Для решения задачи воспользуемся тем, что угол между двумя касательными к окружности, проведёнными из одной точки, равен половине разности величин дуг, заключённых между точками касания. Обозначим величины дуг, заключённых между точками касания, как \( x \) и \( y \). Тогда угол между касательными равен: \[ \angle = \frac{1}{2} |x - y| \] В данной задаче угол между касательными равен \( 73^\circ \). Подставим это значение в формулу: \[ 73 = \frac{1}{2} |x - y| \] Умножим обе стороны уравнения на 2: \[ 146 = |x - y| \] Это означает, что разность между дугами \( x \) и \( y \) равна \( 146^\circ \). Теперь, зная, что сумма дуг \( x \) и \( y \) равна \( 360^\circ \) (так как они расположены на круге), можем записать следующее уравнение: \[ x + y = 360 \] Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1. \( |x - y| = 146 \) 2. \( x + y = 360 \) Рассмотрим два случая: **Случай 1:** \( x - y = 146 \) В этом случае: \[ x = y + 146 \] Подставим это в уравнение суммы: \[ (y + 146) + y = 360 \] \[ 2y + 146 = 360 \] \[ 2y = 214 \] \[ y = 107 \] \[ x = 107 + 146 = 253 \] **Случай 2:** \( y - x = 146 \) В этом случае: \[ y = x + 146 \] Подставим это в уравнение суммы: \[ x + (x + 146) = 360 \] \[ 2x + 146 = 360 \] \[ 2x = 214 \] \[ x = 107 \] \[ y = 107 + 146 = 253 \] В обоих случаях меньшее значение дуги равняется \( 107^\circ \). Таким образом, градусная мера меньшей из дуг, заключённых между точками касания, равна \( 107^\circ \).