Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен 7 3 ∘ 73 ∘ . Найди градусную меру меньшей из дуг, заключённых между точками касания.
Для решения задачи воспользуемся тем, что угол между двумя касательными к окружности, проведёнными из одной точки, равен половине разности величин дуг, заключённых между точками касания.
Обозначим величины дуг, заключённых между точками касания, как \( x \) и \( y \). Тогда угол между касательными равен:
\[ \angle = \frac{1}{2} |x - y| \]
В данной задаче угол между касательными равен \( 73^\circ \). Подставим это значение в формулу:
\[ 73 = \frac{1}{2} |x - y| \]
Умножим обе стороны уравнения на 2:
\[ 146 = |x - y| \]
Это означает, что разность между дугами \( x \) и \( y \) равна \( 146^\circ \). Теперь, зная, что сумма дуг \( x \) и \( y \) равна \( 360^\circ \) (так как они расположены на круге), можем записать следующее уравнение:
\[ x + y = 360 \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( |x - y| = 146 \)
- \( x + y = 360 \)
Рассмотрим два случая:
Случай 1: \( x - y = 146 \)
В этом случае:
\[ x = y + 146 \]
Подставим это в уравнение суммы:
\[ (y + 146) + y = 360 \] \[ 2y + 146 = 360 \] \[ 2y = 214 \] \[ y = 107 \] \[ x = 107 + 146 = 253 \]
Случай 2: \( y - x = 146 \)
В этом случае:
\[ y = x + 146 \]
Подставим это в уравнение суммы:
\[ x + (x + 146) = 360 \] \[ 2x + 146 = 360 \] \[ 2x = 214 \] \[ x = 107 \] \[ y = 107 + 146 = 253 \]
В обоих случаях меньшее значение дуги равняется \( 107^\circ \).
Таким образом, градусная мера меньшей из дуг, заключённых между точками касания, равна \( 107^\circ \).
