Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Дано:
- Масса вагона ( m = 40 ) т ( = 40000 ) кг (переведем тонны в килограммы).
- Начальная сила ( F_0 = 50 ) кН ( = 50000 ) Н (переведем кН в Н).
- Закон изменения силы: ( F(t) = F_0 + kt + bt ).
- ( k = -10 ) Н/с, ( b = 5 ) Н/с.
- Начальная скорость ( V_0 = 72 ) км/ч ( \approx 20 ) м/с (переведем км/ч в м/с).
- Ускорение вагона в момент времени ( t ):
Сначала найдем силу в момент времени ( t ):
[
F(t) = 50000 + (-10)t + 5t = 50000 - 5t.
]
Ускорение можно найти с помощью второго закона Ньютона:
[
a(t) = \frac{F(t)}{m} = \frac{50000 - 5t}{40000}.
]
- Скорость вагона в момент времени ( t ):
Скорость вагона ( V(t) ) можно найти, используя начальную скорость и интегрируя ускорение:
[
V(t) = V_0 + \int_0^t a(\tau) , d\tau.
]
Подставим выражение для ( a(t) ):
[
V(t) = 20 + \int_0^t \frac{50000 - 5\tau}{40000} , d\tau.
]
Вычислим интеграл:
[
\int_0^t (1.25 - 0.000125\tau) , d\tau = 1.25t - 0.0000625t^2.
]
Тогда:
[
V(t) = 20 + 1.25t - 0.0000625t^2.
]
- Импульс вагона в момент времени ( t ):
Импульс ( p(t) ) будет равен массе вагона умноженной на его скорость:
[
p(t) = mv(t) = 40000 \left( 20 + 1.25t - 0.0000625t^2 \right).
]
Можно упрощать, но перейдем к следующему шагу для вычисления конкретных значений.
- Путь, пройденный вагоном за время 4 секунды:
Для нахождения пути используем интегрирование скорости:
[
S = \int_0^t V(\tau) , d\tau.
]
После подстановки ( V(\tau) ):
[
S = \int_0^4 \left( 20 + 1.25\tau - 0.0000625\tau^2 \right) , d\tau.
]
Вычисляем интеграл:
[
S = 20\tau + 0.625\tau^2 - 0.0000208333\tau^3 \Big|_0^4 = 80 + 10 - 0.0000208333 \cdot 64 \approx 90 - 0.0013333 \approx 89.9987 \text{ м}.
]
- Изменение импульса вагона в интервале времени ( 1 - b ):
Для изменения импульса вычисляем импульс в конечный момент времени и вычтем начальный импульс:
[
\Delta p = p(b) - p(1).
]
- График зависимости импульса вагона от времени:
Для построения графика нужно выразить импульс через время, используя полученное уравнение ( p(t) ).
Теперь вы можете выполнить точные вычисления на вашем калькуляторе или в программе для более точного ответа и построить график зависимости. Если будут вопросы по отдельным шагам или по процессу построения графика, дайте знать!
