известно, что сумма квадратов корней трёхчлена x²+5ax+5b равна сумме квадратов корней трёхчлена x²+5bx+5a. Чему равно a+b, если a≠b?
Рассмотрим два трёхчлена: \( x^2 + 5ax + 5b \) и \( x^2 + 5bx + 5a \). Обозначим корни первого трёхчлена через \( r_1 \) и \( r_2 \), а второго трёхчлена через \( s_1 \) и \( s_2 \).
Сумма квадратов корней для трёхчлена \( x^2 + px + q \) вычисляется по формуле: \[ S = r_1^2 + r_2^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2r_1r_2 \] По теореме Виета, сумма корней равна \( -p \), а произведение корней равно \( q \).
Для первого трёхчлена:
- \( r_1 + r_2 = -5a \)
- \( r_1 r_2 = 5b \)
Следовательно: \[ r_1^2 + r_2^2 = (-5a)^2 - 2 \cdot 5b = 25a^2 - 10b \]
Для второго трёхчлена:
- \( s_1 + s_2 = -5b \)
- \( s_1 s_2 = 5a \)
Таким образом: \[ s_1^2 + s_2^2 = (-5b)^2 - 2 \cdot 5a = 25b^2 - 10a \]
Согласно условию задачи, сумма квадратов корней первого трёхчлена равна сумме квадратов корней второго трёхчлена: \[ 25a^2 - 10b = 25b^2 - 10a \]
Переносим все слагаемые на одну сторону: \[ 25a^2 - 25b^2 - 10b + 10a = 0 \]
Выносим общий множитель: \[ 25(a^2 - b^2) + 10(a - b) = 0 \]
Факторизуем: \[ (a - b)(25(a + b) + 10) = 0 \]
Поскольку \( a \neq b \), следовательно, необходимо, чтобы: \[ 25(a + b) + 10 = 0 \] Отсюда: \[ 25(a + b) = -10 \] \[ a + b = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5} \]
Таким образом, ответом на заданный вопрос будет: \[ a + b = -\frac{2}{5} \]
