В треугольнике ABC AB=BC, AC=8, tgBAC=5÷2 найдите AB

Для решения задачи нам нужно использовать известные свойства треугольников и тригонометрию. В треугольнике ABC у нас есть два равных катета (AB = BC) и одна известная сторона (AC = 8), а также угловая tangens для угла BAC. 1. Обозначим длину стороны AB как \( AB = x \). Так как AB = BC, то длина BC тоже будет \( x \). 2. Используя теорему о прямоугольном треугольнике, triangle ABC можно разбить на два под-треугольника с прямым углом в точке B. 3. Tangens угла BAC (tg BAC) определяется как отношение противолежащего катета (BC, который равен x) к прилежащему катету (AB, который равен AC). Внутреннее соотношение для tangens представляется как: \[ \tan BAC = \frac{BC}{AB} = \frac{x}{d}, \] где \( d \) - высота из точки A на основание BC. 4. Поскольку tg BAC = 5/2, можем записать: \[ \frac{BC}{AB} = \frac{5}{2} \] Отсюда \( BC = \frac{5}{2} \cdot AB \). 5. В треугольнике ABC, используя длину стороны AC: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 = x^2 + x^2 (или x^2 + \left( \frac{5}{2} \cdot x \right)^2). \] 6. Подставив известное значение AC = 8, мы получаем уравнение: \[ 8^2 = x^2 + \left(\frac{5}{2} x\right)^2. \] 7. Это преобразуется в: \[ 64 = x^2 + \frac{25}{4} x^2 = x^2 \left(1 + \frac{25}{4}\right) = x^2 \cdot \frac{29}{4}. \] 8. Умножим обе стороны на 4 для удобства: \[ 256 = 29 x^2. \] 9. Теперь решим для \( x^2 \): \[ x^2 = \frac{256}{29}. \] 10. И в итоге, найдём \( AB \): \[ AB = \sqrt{\frac{256}{29}} = \frac{16}{\sqrt{29}}. \] Таким образом, ответ: \( AB = \frac{16}{\sqrt{29}} \).