Чтобы найти боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды, сначала вспомним формулы и необходимые понятия.
Объем правильной шестиугольной пирамиды можно выразить через площадь основания и высоту:
[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h, ]
где ( V ) — объем, ( S ) — площадь основания, а ( h ) — высота пирамиды.
Для правильной шестиугольной пирамиды основание представляет собой правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной ( a ) вычисляется по формуле:
[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2. ]
В нашем случае сторона основания ( a = 8 ). Подставим это значение в формулу для площади:
[
S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 8^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 64 = 96\sqrt{3}.
]
Теперь подставим ( S ) в формулу для объема, который равен 768:
[
768 = \frac{1}{3} \cdot 96\sqrt{3} \cdot h.
]
Умножим обе стороны уравнения на 3:
[
2304 = 96\sqrt{3} \cdot h.
]
Теперь найдем высоту ( h ):
[
h = \frac{2304}{96\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} \cdot 24 = 8\sqrt{3}.
]
Теперь, чтобы найти боковое ребро ( l ) пирамиды, рассчитываем его по формуле:
[ l = \sqrt{h^2 + r^2}, ]
где ( r ) — радиус описанной окружности шестиугольника. Для правильного шестиугольника радиус ( r ) равен ( a ):
[
r = \frac{8}{\sqrt{3}}.
]
Теперь подставим значения в уравнение для бокового ребра:
[
l = \sqrt{(8\sqrt{3})^2 + 8^2} = \sqrt{192 + 64} = \sqrt{256} = 16.
]
Таким образом, длина бокового ребра пирамиды равна ( 16 ).
