Для решения задачи начнем с данных, что сумма двух углов ромба равна 120°. Так как в ромбе противоположные углы равны, то можем считать, что один угол равен α, а другой угол равен β, где α + β = 120°. Таким образом, наклонные углы можно записать как α = 60° и β = 60°.
Также мы знаем, что все стороны ромба равны. Пусть длина стороны ромба равна ( a ). Периметр ромба равен ( 4a ), поэтому:
[
4a = 48 \implies a = 12 \text{ см}
]
Теперь нам нужно найти длину диагоналей ромба. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Если обозначить длины диагоналей как ( d_1 ) и ( d_2 ), то можно записать:
[
\frac{d_1}{2} = a \cdot \sin(\alpha/2) \quad \text{и} \quad \frac{d_2}{2} = a \cdot \cos(\alpha/2)
]
Зная, что в нашем случае α = 60°:
[
\alpha/2 = 30°
]
[
\sin(30°) = 0.5, \quad \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Теперь подставим значения:
[
\frac{d_1}{2} = 12 \cdot \sin(30°) = 12 \cdot 0.5 = 6 \implies d_1 = 12 \text{ см}
]
[
\frac{d_2}{2} = 12 \cdot \cos(30°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \implies d_2 = 12\sqrt{3} \text{ см}
]
Теперь мы можем оценить, какая из диагоналей меньше: ( d_1 = 12 \text{ см} ) и ( d_2 = 12\sqrt{3} ), что примерно равно 20.78 см. Таким образом, меньшая диагональ ромба составляет:
[
\boxed{12 \text{ см}}
]
