Чтобы решить неравенство ((x + 1)(x - 7)(x - 12) \geq 0), начнем с нахождения корней этого неравенства. Корни находятся, когда каждое из выражений в скобках равняется нулю:
- (x + 1 = 0 \implies x = -1)
- (x - 7 = 0 \implies x = 7)
- (x - 12 = 0 \implies x = 12)
Теперь у нас есть три ключевых значения: (-1), (7) и (12). Эти точки делят числовую прямую на четыре интервала:
- ( (-\infty, -1) )
- ( (-1, 7) )
- ( (7, 12) )
- ( (12, +\infty) )
Теперь мы проверим знак произведения ((x + 1)(x - 7)(x - 12)) на каждом из интервалов:
Интервал ((- \infty, -1)): Выберите (x = -2):
[
(-2 + 1)(-2 - 7)(-2 - 12) = (-1)(-9)(-14) < 0
]
Знак отрицательный.
Интервал ((-1, 7)): Выберите (x = 0):
[
(0 + 1)(0 - 7)(0 - 12) = (1)(-7)(-12) > 0
]
Знак положительный.
Интервал ((7, 12)): Выберите (x = 10):
[
(10 + 1)(10 - 7)(10 - 12) = (11)(3)(-2) < 0
]
Знак отрицательный.
Интервал ((12, +\infty)): Выберите (x = 13):
[
(13 + 1)(13 - 7)(13 - 12) = (14)(6)(1) > 0
]
Знак положительный.
Теперь у нас есть знаки на интервалах:
- Для ((- \infty, -1)) — отрицательный.
- Для ((-1, 7)) — положительный.
- Для ((7, 12)) — отрицательный.
- Для ((12, +\infty)) — положительный.
Следовательно, решение неравенства ((x + 1)(x - 7)(x - 12) \geq 0) включает интервалы, где произведение положительно, а также значения (x), при которых произведение равно нулю. Это будет:
[ [-1, 7) \cup [12, +\infty) ]
Вот схема, которая иллюстрирует множество решений неравенства. Вы можете выбрать рисунок, на котором закрашены указанные интервалы, включая точки -1, 7 и 12.
