Чтобы решить задачу, давайте сначала запишем необходимые формулы и условия.
Дано:
- Площадь боковой поверхности конуса (Sб) в два раза больше площади основания (Sосн).
- Образующая (l) равна 10 см.
- Найдем площади.
Площадь основания конуса вычисляется по формуле:
[ S_{осн} = \pi r^2 ]
где ( r ) — радиус основания.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
[ S_{б} = \pi r l ]
где ( l ) — образующая.
Согласно условию задачи, имеем:
[ S_{б} = 2 S_{осн} ]
Подставим соответствующие формулы:
[ \pi r l = 2 \pi r^2 ]
Уберем ( \pi r ) с обеих сторон (при ( r \neq 0 )):
[ l = 2r ]
- Используем значение образующей.
Мы знаем, что ( l = 10 ) см:
[ 10 = 2r ]
Теперь решим уравнение для ( r ):
[ r = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} ]
- Теперь мы можем найти объём конуса.
Объём конуса (V) вычисляется по формуле:
[ V = \frac{1}{3} S_{осн} h ]
где ( h ) — высота конуса.
Чтобы найти высоту ( h ), используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, высотой и образующей:
[ l^2 = r^2 + h^2 ]
Подставим известные значения:
[ 10^2 = 5^2 + h^2 ]
[ 100 = 25 + h^2 ]
[ h^2 = 100 - 25 = 75 ]
[ h = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \text{ см} ]
- Теперь находим объём:
[ S_{осн} = \pi r^2 = \pi (5^2) = 25\pi ]
[ V = \frac{1}{3} \cdot 25\pi \cdot 5\sqrt{3} = \frac{125\pi \sqrt{3}}{3} \text{ см}^3 ]
Итак, объём конуса равен:
[ V = \frac{125\pi \sqrt{3}}{3} \text{ см}^3 ]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить какой-либо шаг подробнее, не стесняйтесь задавать!
