Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см.

Для нахождения площади круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см, нам сначала нужно определить радиус этого круга. Для правильного шестиугольника с длиной стороны \( a \) радиус вписанного круга \( r \) выражается формулой: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{2} \] Подставим значение \( a = 10 \) см: \[ r = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \, \text{см} \] Теперь, чтобы найти площадь круга, используем формулу площади круга \( S \): \[ S = \pi r^2 \] Теперь подставим найденный радиус: \[ S = \pi (5\sqrt{3})^2 \] Вычислим \( (5\sqrt{3})^2 \): \[ (5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75 \] Следовательно, площадь круга будет: \[ S = \pi \cdot 75 \] Итак, площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см, равна: \[ S = 75\pi \, \text{см}^2 \] Если нужно, можно подставить значение \( \pi \) (приблизительно 3.14) для численного значения. В этом случае: \[ S \approx 75 \cdot 3.14 \approx 235.5 \, \text{см}^2 \] Итак, окончательный ответ: площадь круга составляет \( 75\pi \) см², что примерно равно 235.5 см².