Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см.

Для нахождения площади круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см, нам сначала нужно определить радиус этого круга.

Для правильного шестиугольника с длиной стороны \( a \) радиус вписанного круга \( r \) выражается формулой:

\[ r = \frac{a \sqrt{3}}{2} \]

Подставим значение \( a = 10 \) см:

\[ r = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \, \text{см} \]

Теперь, чтобы найти площадь круга, используем формулу площади круга \( S \):

\[ S = \pi r^2 \]

Теперь подставим найденный радиус:

\[ S = \pi (5\sqrt{3})^2 \]

Вычислим \( (5\sqrt{3})^2 \):

\[ (5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75 \]

Следовательно, площадь круга будет:

\[ S = \pi \cdot 75 \]

Итак, площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см, равна:

\[ S = 75\pi \, \text{см}^2 \]

Если нужно, можно подставить значение \( \pi \) (приблизительно 3.14) для численного значения. В этом случае:

\[ S \approx 75 \cdot 3.14 \approx 235.5 \, \text{см}^2 \]

Итак, окончательный ответ: площадь круга составляет \( 75\pi \) см², что примерно равно 235.5 см².