Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника АВС проведён перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите АМ, если АВ = 12 см.

В равностороннем треугольнике \( ABC \) все стороны равны, поэтому \( AB = BC = AC = 12 \) см. Сначала найдем длину стороны \( BC \), которая также равна \( 12 \) см. Так как \( D \) — это середина стороны \( BC \), длина отрезка \( BD \) будет равна: \[ BD = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см.} \] Теперь найдем высоту треугольника \( ABC \). В равностороннем треугольнике высота \( h \) можно найти по формуле: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a, \] где \( a \) — длина стороны треугольника. В нашем случае \( a = 12 \) см: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6\sqrt{3} \text{ см.} \] Теперь нужно найти координаты точек. Пусть: - \( A(0, h) = (0, 6\sqrt{3}) \), - \( B(-6, 0) \), - \( C(6, 0) \). Точка \( D \) будет находиться в середине отрезка \( BC \): \[ D\left(\frac{-6 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = D(0, 0). \] Теперь нужно провести перпендикуляр \( DM \) к прямой \( AC \). Уравнение прямой \( AC \) можно получить, определив её наклон. Наклон \( AC \) можно найти следующим образом: \[ k_{AC} = \frac{0 - 6\sqrt{3}}{6 - 0} = -\sqrt{3}. \] Таким образом, уравнение прямой \( AC \): \[ y - 6\sqrt{3} = -\sqrt{3}(x - 0) \implies y = -\sqrt{3}x + 6\sqrt{3}. \] Наклон перпендикуляра \( DM \) будет равен \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) (так как перпендикуляр наклона равен минус обратному значению). Уравнение прямой \( DM \) имеет вид: \[ y = \frac{1}{\sqrt{3}}x. \] Точка пересечения прямых \( DM \) и \( AC \): \[ \frac{1}{\sqrt{3}}x = -\sqrt{3}x + 6\sqrt{3}. \] Умножим обе стороны уравнения на \( \sqrt{3} \): \[ x = -3x + 18. \] Переносим все \( x \) на одну сторону: \[ 4x = 18 \implies x = \frac{18}{4} = 4.5. \] Теперь подставим значение \( x \) в уравнение прямой \( DM \) для нахождения \( y \): \[ y = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 4.5 = \frac{4.5}{\sqrt{3}} = \frac{4.5\sqrt{3}}{3} = 1.5\sqrt{3}. \] Теперь нам нужно найти длину отрезка \( AM \): \[ AM = \sqrt{(0 - 4.5)^2 + \left( 6\sqrt{3} - 1.5\sqrt{3} \right)^2} = \sqrt{(-4.5)^2 + (4.5\sqrt{3})^2}. \] Посчитаем: \[ AM = \sqrt{20.25 + 20.25} = \sqrt{40.5} = 3\sqrt{4.5} = 6\sqrt{2}. \] Следовательно, \[ AM = 6 \text{ см}. \]