Корень в пятой степени из х-2 + 2корень в 10 степени х-2=3
Чтобы решить уравнение \(\sqrt[5]{x - 2} + 2\sqrt[10]{x - 2} = 3\), давайте начнем с обозначения. Пусть \(y = \sqrt[10]{x - 2}\). Тогда, можно переписать \(x - 2\) через \(y\):
\[ y^{10} = x - 2 \quad \Rightarrow \quad x = y^{10} + 2 \]
Также выразим \(\sqrt[5]{x - 2}\) через \(y\):
\[ \sqrt[5]{x - 2} = \sqrt[5]{y^{10}} = y^{2} \]
Теперь подставим эти выражения в наше уравнение:
\[ y^2 + 2y = 3 \]
Перепишем это уравнение:
\[ y^2 + 2y - 3 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы корней:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \]
Вычислим дискриминант:
\[ \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ y = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
Таким образом, получаем два корня:
- \(y = \frac{2}{2} = 1\)
- \(y = \frac{-6}{2} = -3\) (это значение не имеет смысла, так как \(y\) должно быть неотрицательным)
Теперь, когда нашли \(y = 1\), вернемся к выражению для \(x\):
\[ 1 = \sqrt[10]{x - 2} \]
Возведем обе стороны в 10 степень:
\[ 1^{10} = x - 2 \quad \Rightarrow \quad x - 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]
Таким образом, единственное решение уравнения:
\[ x = 3 \]
Проверьте, что это значение решает исходное уравнение, подставив его обратно. Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите разобраться с другой темой, дайте знать!
