Чтобы решить уравнение (\sqrt[5]{x - 2} + 2\sqrt[10]{x - 2} = 3), давайте начнем с обозначения. Пусть (y = \sqrt[10]{x - 2}). Тогда, можно переписать (x - 2) через (y):
[
y^{10} = x - 2 \quad \Rightarrow \quad x = y^{10} + 2
]
Также выразим (\sqrt[5]{x - 2}) через (y):
[
\sqrt[5]{x - 2} = \sqrt[5]{y^{10}} = y^{2}
]
Теперь подставим эти выражения в наше уравнение:
[
y^2 + 2y = 3
]
Перепишем это уравнение:
[
y^2 + 2y - 3 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы корней:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}
]
Вычислим дискриминант:
[
\sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4
]
Теперь подставим значения в формулу:
[
y = \frac{-2 \pm 4}{2}
]
Таким образом, получаем два корня:
- (y = \frac{2}{2} = 1)
- (y = \frac{-6}{2} = -3) (это значение не имеет смысла, так как (y) должно быть неотрицательным)
Теперь, когда нашли (y = 1), вернемся к выражению для (x):
[
1 = \sqrt[10]{x - 2}
]
Возведем обе стороны в 10 степень:
[
1^{10} = x - 2 \quad \Rightarrow \quad x - 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 3
]
Таким образом, единственное решение уравнения:
[
x = 3
]
Проверьте, что это значение решает исходное уравнение, подставив его обратно. Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите разобраться с другой темой, дайте знать!
