Найти объем, образованного вращением фигуры, ограниченной y=x^2-6x,y=0
Давайте найдем объем фигуры, образованной вращением области, ограниченной кривой \( y = x^2 - 6x \) и осью \( y = 0 \).
Найдём точки пересечения: Сначала найдем, где кривая пересекает ось \( y \). Для этого решим уравнение \( y = 0 \):
\[ x^2 - 6x = 0 \]
Это уравнение можно факторизовать:
\[ x(x - 6) = 0 \]
Таким образом, \( x = 0 \) и \( x = 6 \). Эти точки будут границами интегрирования.
Построим образец вращения: Теперь мы хотим найти объем тела, образованного вращением этой области вокруг оси \( x \). Мы будем использовать метод дисков.
Формула для объема: Объем \( V \) можно найти по формуле:
\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]
Здесь \( f(x) = x^2 - 6x \), а \( a = 0 \), \( b = 6 \).
Запишем интеграл:
\[ V = \pi \int_{0}^{6} (x^2 - 6x)^2 \, dx \]
Упростим интеграл: Для упрощения нужно разложить квадрат:
\[ (x^2 - 6x)^2 = x^4 - 12x^3 + 36x^2 \]
Теперь наш интеграл становится:
\[ V = \pi \int_{0}^{6} (x^4 - 12x^3 + 36x^2) \, dx \]
Решим интеграл: Вычислим интеграл по каждому члену:
\[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}, \quad \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}, \quad \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \]
Подставляем пределы интегрирования:
\[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 12 \cdot \frac{x^4}{4} + 36 \cdot \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6} \]
Подставим \( x = 6 \):
\[ V = \pi \left[ \frac{6^5}{5} - 12 \cdot \frac{6^4}{4} + 36 \cdot \frac{6^3}{3} \right] \]
Рассчитаем:
\[ \frac{6^5}{5} = \frac{7776}{5} = 1555.2, \quad 12 \cdot \frac{6^4}{4} = 12 \cdot 324 = 3888, \quad 36 \cdot \frac{6^3}{3} = 36 \cdot 72 = 2592 \]
Теперь подставим все эти значения:
\[ V = \pi \left[ 1555.2 - 3888 + 2592 \right] = \pi \left[ 1555.2 - 3888 + 2592 \right] = \pi \cdot 259.2 \]
Итог:
Итак, окончательный объем объема, образованного вращением области, равен:
\[ V = 259.2\pi \]
Таким образом, объем фигуры, образованной вращением данной области около оси \( x \), составляет \( 259.2\pi \) кубических единиц.
