Найти объем, образованного вращением фигуры, ограниченной y=x^2-6x,y=0

Давайте найдем объем фигуры, образованной вращением области, ограниченной кривой \( y = x^2 - 6x \) и осью \( y = 0 \). 1. **Найдём точки пересечения:** Сначала найдем, где кривая пересекает ось \( y \). Для этого решим уравнение \( y = 0 \): \[ x^2 - 6x = 0 \] Это уравнение можно факторизовать: \[ x(x - 6) = 0 \] Таким образом, \( x = 0 \) и \( x = 6 \). Эти точки будут границами интегрирования. 2. **Построим образец вращения:** Теперь мы хотим найти объем тела, образованного вращением этой области вокруг оси \( x \). Мы будем использовать метод дисков. 3. **Формула для объема:** Объем \( V \) можно найти по формуле: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Здесь \( f(x) = x^2 - 6x \), а \( a = 0 \), \( b = 6 \). 4. **Запишем интеграл:** \[ V = \pi \int_{0}^{6} (x^2 - 6x)^2 \, dx \] 5. **Упростим интеграл:** Для упрощения нужно разложить квадрат: \[ (x^2 - 6x)^2 = x^4 - 12x^3 + 36x^2 \] Теперь наш интеграл становится: \[ V = \pi \int_{0}^{6} (x^4 - 12x^3 + 36x^2) \, dx \] 6. **Решим интеграл:** Вычислим интеграл по каждому члену: \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}, \quad \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}, \quad \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Подставляем пределы интегрирования: \[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 12 \cdot \frac{x^4}{4} + 36 \cdot \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6} \] Подставим \( x = 6 \): \[ V = \pi \left[ \frac{6^5}{5} - 12 \cdot \frac{6^4}{4} + 36 \cdot \frac{6^3}{3} \right] \] Рассчитаем: \[ \frac{6^5}{5} = \frac{7776}{5} = 1555.2, \quad 12 \cdot \frac{6^4}{4} = 12 \cdot 324 = 3888, \quad 36 \cdot \frac{6^3}{3} = 36 \cdot 72 = 2592 \] Теперь подставим все эти значения: \[ V = \pi \left[ 1555.2 - 3888 + 2592 \right] = \pi \left[ 1555.2 - 3888 + 2592 \right] = \pi \cdot 259.2 \] 7. **Итог:** Итак, окончательный объем объема, образованного вращением области, равен: \[ V = 259.2\pi \] Таким образом, объем фигуры, образованной вращением данной области около оси \( x \), составляет \( 259.2\pi \) кубических единиц.