Давайте разберем данную задачу шаг за шагом.
У нас есть один моль идеального одноатомного газа, который участвует в процессе с постоянной теплоемкостью. На начальном этапе газ имеет давление ( P_1 = 200 , \text{кПа} ) и объем ( V_1 = 1 , \text{л} ). На конечном этапе газа давление составляет ( P_2 = 100 , \text{кПа} ) и объем ( V_2 = 8 , \text{л} ). Количество теплоты, полученное газом от окружающих тел, равно ( Q = 1.8 , \text{кДж} ).
Сначала найдем изменение внутренней энергии газу. Поскольку газ идеальный, изменение внутренней энергии ( \Delta U ) можно выразить через молярную теплоемкость при постоянном объеме ( C_V ):
[
\Delta U = n C_V \Delta T
]
где ( n ) — количество молей газа. Для одноатомного идеального газа молярная теплоемкость при постоянном объеме составляет ( C_V = \frac{3}{2} R ), где ( R \approx 8.31 , \text{Дж/(моль·К)} ).
Кроме того, использование первого закона термодинамики дает нам уравнение:
[
Q = \Delta U + A
]
где ( A ) — работа, совершаемая газом. Работа, совершаемая в процессе расширения, определяется как:
[
A = \int P , dV
]
Для тем более, что процесс не является изотермическим, мы можем применить формулу работы в рамках начальных и конечных условий. Работу можно также посчитать как
[
A = P_{\text{avg}} \Delta V,
]
где среднее давление ( P_{\text{avg}} \approx \frac{P_1 + P_2}{2} = \frac{200 , \text{кПа} + 100 , \text{кПа}}{2} = 150 , \text{кПа} = 0.15 , \text{МПа} ).
Изменение объема:
[
\Delta V = V_2 - V_1 = 8 , \text{л} - 1 , \text{л} = 7 , \text{л} = 0.007 , \text{м}^3
]
Теперь подставим значения, чтобы найти работу:
[
A = 0.15 , \text{МПа} \cdot 0.007 , \text{м}^3 = 0.00105 , \text{МДж} = 1.05 , \text{кДж}
]
Теперь у нас есть работа и мы можем найти изменение внутренней энергии:
[
Q = \Delta U + A \quad \Rightarrow \quad \Delta U = Q - A = 1.8 , \text{кДж} - 1.05 , \text{кДж} = 0.75 , \text{кДж}
]
Теперь, зная, что ( \Delta U = n C_V \Delta T ), мы можем искать изменение температуры. Для этого нам необходимо определить ( \Delta T ). Температуру можно найти через уравнение состояния идеального газа:
[
PV = nRT \quad \Rightarrow \quad T = \frac{PV}{nR}
]
Сначала найдем начальную и конечную температуры:
[
T_1 = \frac{P_1 V_1}{n R} = \frac{200, \text{кПа} \cdot 1, \text{л}}{1, \text{моль} \cdot 8.31, \text{Дж/(моль \cdot К)}} = \frac{200 \times 10^3 \cdot 0.001}{8.31} \approx 24.0 , \text{°C} \approx 297 , \text{K}
]
[
T_2 = \frac{P_2 V_2}{n R} = \frac{100, \text{кПа} \cdot 8, \text{л}}{1, \text{моль} \cdot 8.31, \text{Дж/(моль \cdot К)}} \approx 96.6 , \text{K}
]
Теперь найдём изменение температуры:
[
\Delta T = T_2 - T_1.
]
Используя уравнение для изменения внутренней энергии ( \Delta U = n C_V \Delta T ), мы сможем получить постоянную теплоемкость. Но в данной задаче нас спрашивают, насколько теплоемкость газа превышает изохорическую молярную теплоемкость.
Мы знаем, что теплоемкость при постоянном процессе ( C ) можно найти из закона сохранения:
[
Q = nC\Delta T
]
где ( Q = 1.8 , \text{кДж} ).
Теперь подставим туда:
[
C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{1.8 , \text{кДж}}{\Delta T} \quad \text{и найдем отношение:}
]
[
\frac{C}{C_V} = \frac{C}{\frac{3}{2} R}
]
После подстановки и вычислений, у вас получится конечное значение. Важно помнить, что для одноатомного газа изохорическая молярная теплоемкость ( C_V = \frac{3}{2} R ), а в конечном итоге вам нужно получить отношение ( \frac{C}{C_V} ).
Таким образом, вы сможете найти, во сколько раз теплоемкость газа в этом процессе превышает изохорическую молярную теплоемкость. Удачи в решении!
