длины векторов а и б равны 9 и 60 ,а их скалярное произведение равно 429.найти длину вектора с,если с=2а+⅓б
Для нахождения длины вектора \( \mathbf{c} \), который определяется как \( \mathbf{c} = 2\mathbf{a} + \frac{1}{3} \mathbf{b} \), сначала необходимо найти длины (модули) векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), а также использовать информацию о скалярном произведении.
Длины векторов:
- \( |\mathbf{a}| = 9 \)
- \( |\mathbf{b}| = 60 \)
Скалярное произведение:
- \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 429 \)
Сначала найдем основные значения для \( |\mathbf{c}| \): \[ |\mathbf{c}| = |2\mathbf{a} + \frac{1}{3} \mathbf{b}| \]
Для вычисления модуля вектора, воспользуемся формулой для модуля суммы векторов: \[ |\mathbf{c}| = \sqrt{|2\mathbf{a}|^2 + |\frac{1}{3}\mathbf{b}|^2 + 2 |2\mathbf{a}| |\frac{1}{3}\mathbf{b}| \cos \theta} \] где \( \theta \) — угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).
Теперь вычислим необходимые значения:
- \( |2\mathbf{a}| = 2 \cdot 9 = 18 \)
- \( |\frac{1}{3} \mathbf{b}| = \frac{1}{3} \cdot 60 = 20 \)
Теперь подставим в формулу: \[ |\mathbf{c}| = \sqrt{18^2 + 20^2 + 2 \cdot 18 \cdot 20 \cdot \cos \theta} \]
Следует найти косинус угла \( \theta \) через скалярное произведение: \[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} = \frac{429}{9 \cdot 60} = \frac{429}{540} = \frac{143}{180} \]
Теперь подставим \( \cos \theta \) в формулу для длины вектора \( \mathbf{c} \): \[ |\mathbf{c}| = \sqrt{18^2 + 20^2 + 2 \cdot 18 \cdot 20 \cdot \frac{143}{180}} \] Теперь посчитаем: \[ 18^2 = 324 \] \[ 20^2 = 400 \] \[ 2 \cdot 18 \cdot 20 = 720 \]
Теперь подсчитаем полный выражение: \[ |\mathbf{c}| = \sqrt{324 + 400 + 720 \cdot \frac{143}{180}} \]
Вычислим \( 720 \cdot \frac{143}{180} \) : \[ 720 \cdot \frac{143}{180} = \frac{720 \cdot 143}{180} = \frac{103560}{180} = 575 \]
Теперь подставим полученные значения обратно: \[ |\mathbf{c}| = \sqrt{324 + 400 + 575} = \sqrt{1299} \]
В результате, длина вектора \( \mathbf{c} \) равна \( \sqrt{1299} \). Вычисление этого выражения дает приблизительно: \[ |\mathbf{c}| \approx 36.1 \]
Таким образом, длина вектора \( \mathbf{c} \) составляет приблизительно 36.1.
