2. Найдите корни полинома f_{n}(x) = x ^ 4 - 1/n * x ^ 3 - 2x ^ 2 - 1/n * x + 1 и докажите, что при п ∞ они стремятся к корням полинома f(x) = x ^ 4 - 2x ^ 2 + 1

Для нахождения корней полинома \( f_n(x) = x^4 - \frac{1}{n}x^3 - 2x^2 - \frac{1}{n}x + 1 \) сначала полезно рассмотреть его поведение при \( n \to \infty \). Когда \( n \) становится очень большим, члены с \( \frac{1}{n} \) стремятся к нулю. Таким образом, общее уравнение можно упростить, отбрасывая \( -\frac{1}{n}x^3 \) и \( -\frac{1}{n}x \): \[ f_n(x) \approx x^4 - 2x^2 + 1. \] Теперь давайте рассмотрим полином \( f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 \). Мы можем упростить его, сделав замену \( y = x^2 \): \[ f(x) = (x^2)^2 - 2(x^2) + 1 = y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2. \] Таким образом, у нас есть: \[ f(x) = (x^2 - 1)^2. \] Корни этого уравнения получаются из \( x^2 - 1 = 0 \), которые равны \( x = 1 \) и \( x = -1 \). Поскольку это квадратное уравнение, каждый корень имеет кратность 2. Теперь необходимо показать, что при \( n \to \infty \) корни полинома \( f_n(x) \) стремятся к корням полинома \( f(x) \). Мы можем написать \( f_n(x) \) в виде: \[ f_n(x) = x^4 - 2x^2 + 1 - \frac{1}{n} (x^3 + x). \] Когда \( n \) увеличивается, слагаемые \( -\frac{1}{n} (x^3 + x) \) становятся всё меньше и менее значительными, и полином \( f_n(x) \) приближается к \( f(x) \). Это подразумевает, что корни \( f_n(x) \) будут стремиться к тем же значениям \( x = 1 \) и \( x = -1 \). Таким образом, при \( n \to \infty \) корни \( f_n(x) \) действительно стремятся к корням полинома \( f(x) = (x^2 - 1)^2 \).