найдите корни уравнений через дискриминант x²-10/x+2=3x/x+2
Давайте решим уравнение \( \frac{x^2 - 10}{x + 2} = \frac{3x}{x + 2} \).
Сначала упростим уравнение. Умножим обе стороны на \( x + 2 \) (при условии, что \( x \neq -2 \), чтобы избежать деления на ноль):
\[ x^2 - 10 = 3x \]
Теперь мы можем привести все слагаемые в одну сторону:
\[ x^2 - 3x - 10 = 0 \]
Теперь мы имеем квадратное уравнение в стандартной форме. Давайте найдем его корни с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) рассчитывается по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Где \( a = 1 \), \( b = -3 \), и \( c = -10 \). Подставляем значения:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]
Теперь, когда мы получили дискриминант, мы можем найти корни квадратного уравнения по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем наши значения:
\[ x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 7}{2} \]
Теперь найдем два корня:
- \( x_1 = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
- \( x_2 = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
Таким образом, у нас есть два корня: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -2 \).
Но так как при решении уравнения мы умножали на \( x + 2 \), необходимо проверить, является ли \( x_2 = -2 \) корнем уравнения. Подставляя \( x = -2 \) в исходное уравнение, мы видим, что оно не определено, поскольку возникает деление на ноль.
Таким образом, действительным корнем уравнения является только \( x = 5 \).
