Давайте решим уравнение ( \frac{x^2 - 10}{x + 2} = \frac{3x}{x + 2} ).
Сначала упростим уравнение. Умножим обе стороны на ( x + 2 ) (при условии, что ( x \neq -2 ), чтобы избежать деления на ноль):
[
x^2 - 10 = 3x
]
Теперь мы можем привести все слагаемые в одну сторону:
[
x^2 - 3x - 10 = 0
]
Теперь мы имеем квадратное уравнение в стандартной форме. Давайте найдем его корни с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) рассчитывается по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
Где ( a = 1 ), ( b = -3 ), и ( c = -10 ). Подставляем значения:
[
D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49
]
Теперь, когда мы получили дискриминант, мы можем найти корни квадратного уравнения по формуле:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем наши значения:
[
x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 7}{2}
]
Теперь найдем два корня:
- ( x_1 = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 )
- ( x_2 = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 )
Таким образом, у нас есть два корня: ( x_1 = 5 ) и ( x_2 = -2 ).
Но так как при решении уравнения мы умножали на ( x + 2 ), необходимо проверить, является ли ( x_2 = -2 ) корнем уравнения. Подставляя ( x = -2 ) в исходное уравнение, мы видим, что оно не определено, поскольку возникает деление на ноль.
Таким образом, действительным корнем уравнения является только ( x = 5 ).
