Известно, что АВС относится к А1В1С1 как 1,4 причём А = А1, В = В1. Найдите стороны треугольников АВС и А1В1С1, если АВ + А1В1 = 36 сми АВ : ВС : АС = 3:7:8.

Для решения задачи сначала введем обозначения для сторон треугольника ABC:

• \( AB = 3x \)
• \( BC = 7x \)
• \( AC = 8x \)

Теперь найдем сумму сторон треугольника ABC:

\[ AB + BC + AC = 3x + 7x + 8x = 18x \]

Согласно условию, \( A_1B_1 + A_1B_1 + A_1C_1 = 36 \) (то есть сумма сторон треугольника \( A_1B_1C_1 \) вместе с \( AB \)):

По условию задачи:

\[ AB + A_1B_1 = 36 \]

Означает, что \( A_1B_1 = 36 - AB = 36 - 3x \).

Теперь воспользуемся соотношением между треугольниками, имея \( \frac{A_1B_1C_1}{ABC} = 1.4 \). Это выражается через стороны:

\[ \frac{A_1B_1}{AB} = 1.4, \quad \frac{B_1C_1}{BC} = 1.4, \quad \frac{C_1A_1}{AC} = 1.4 \]

Таким образом, можно записать:

\[ A_1B_1 = 1.4 \cdot AB \]

Подставляем \( AB = 3x \):

\[ A_1B_1 = 1.4 \cdot 3x = 4.2x \]

Теперь подставим это в уравнение о сумме сторон:

\[ 4.2x + 3x = 36 \]

Соберем подобные члены:

\[ 7.2x = 36 \]

Теперь найдем \( x \):

\[ x = \frac{36}{7.2} = 5 \]

Теперь найдем стороны треугольника ABC:

\[ AB = 3x = 3 \cdot 5 = 15 \] \[ BC = 7x = 7 \cdot 5 = 35 \] \[ AC = 8x = 8 \cdot 5 = 40 \]

Таким образом, стороны треугольников \( ABC \):

• \( AB = 15 \)
• \( BC = 35 \)
• \( AC = 40 \)

Теперь найдем стороны треугольника \( A_1B_1C_1 \):

\[ A_1B_1 = 4.2x = 4.2 \cdot 5 = 21 \] \[ B_1C_1 = 1.4 \cdot BC = 1.4 \cdot 35 = 49 \] \[ C_1A_1 = 1.4 \cdot AC = 1.4 \cdot 40 = 56 \]

Таким образом, стороны треугольника \( A_1B_1C_1 \):

• \( A_1B_1 = 21 \)
• \( B_1C_1 = 49 \)
• \( C_1A_1 = 56 \)

Итоговые значения сторон:

• Стороны треугольника \( ABC \): \( 15, 35, 40 \)
• Стороны треугольника \( A_1B_1C_1 \): \( 21, 49, 56 \)