Для решения задачи сначала введем обозначения для сторон треугольника ABC:
- ( AB = 3x )
- ( BC = 7x )
- ( AC = 8x )
Теперь найдем сумму сторон треугольника ABC:
[
AB + BC + AC = 3x + 7x + 8x = 18x
]
Согласно условию, ( A_1B_1 + A_1B_1 + A_1C_1 = 36 ) (то есть сумма сторон треугольника ( A_1B_1C_1 ) вместе с ( AB )):
По условию задачи:
[
AB + A_1B_1 = 36
]
Означает, что ( A_1B_1 = 36 - AB = 36 - 3x ).
Теперь воспользуемся соотношением между треугольниками, имея ( \frac{A_1B_1C_1}{ABC} = 1.4 ). Это выражается через стороны:
[
\frac{A_1B_1}{AB} = 1.4, \quad \frac{B_1C_1}{BC} = 1.4, \quad \frac{C_1A_1}{AC} = 1.4
]
Таким образом, можно записать:
[
A_1B_1 = 1.4 \cdot AB
]
Подставляем ( AB = 3x ):
[
A_1B_1 = 1.4 \cdot 3x = 4.2x
]
Теперь подставим это в уравнение о сумме сторон:
[
4.2x + 3x = 36
]
Соберем подобные члены:
[
7.2x = 36
]
Теперь найдем ( x ):
[
x = \frac{36}{7.2} = 5
]
Теперь найдем стороны треугольника ABC:
[
AB = 3x = 3 \cdot 5 = 15
]
[
BC = 7x = 7 \cdot 5 = 35
]
[
AC = 8x = 8 \cdot 5 = 40
]
Таким образом, стороны треугольников ( ABC ):
- ( AB = 15 )
- ( BC = 35 )
- ( AC = 40 )
Теперь найдем стороны треугольника ( A_1B_1C_1 ):
[
A_1B_1 = 4.2x = 4.2 \cdot 5 = 21
]
[
B_1C_1 = 1.4 \cdot BC = 1.4 \cdot 35 = 49
]
[
C_1A_1 = 1.4 \cdot AC = 1.4 \cdot 40 = 56
]
Таким образом, стороны треугольника ( A_1B_1C_1 ):
- ( A_1B_1 = 21 )
- ( B_1C_1 = 49 )
- ( C_1A_1 = 56 )
Итоговые значения сторон:
- Стороны треугольника ( ABC ): ( 15, 35, 40 )
- Стороны треугольника ( A_1B_1C_1 ): ( 21, 49, 56 )
