5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек M (–1; 2) и N (5; 4).
Чтобы найти координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудаленной от точек M (-1; 2) и N (5; 4), нужно следовать нескольким шагам.
Определим координаты искомой точки. Поскольку точка лежит на оси ординат, у неё будет координата x = 0. Таким образом, координаты точки будут (0; y).
Запишем расстояния от точки (0; y) до точек M и N. Используем формулу расстояния между двумя точками в двумерной системе координат: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Для точки M (-1; 2): \[ d_{M} = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{1 + (y - 2)^2} \]
Для точки N (5; 4): \[ d_{N} = \sqrt{(0 - 5)^2 + (y - 4)^2} = \sqrt{25 + (y - 4)^2} \]
Установим равенство расстояний: так как точка равноудаленная от обеих точек, мы можем приравнять расстояния: \[ \sqrt{1 + (y - 2)^2} = \sqrt{25 + (y - 4)^2} \]
Квадратируем обе стороны уравнения для избавления от квадратного корня: \[ 1 + (y - 2)^2 = 25 + (y - 4)^2 \]
Раскроем скобки: \[ 1 + (y^2 - 4y + 4) = 25 + (y^2 - 8y + 16) \] Приведем подобные: \[ 5 - 4y = 41 - 8y \]
Переносим все члены на одну сторону: \[ 8y - 4y = 41 - 5 \] \[ 4y = 36 \] \[ y = 9 \]
Итак, координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудаленной от точек M и N, равны (0; 9).
